Determine a equação do plano tangente à superfície dada pelo gráfico da função no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano tangente à superfície que é o gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas parciais e geometria dos planos, que vamos precisar entender e aplicar aqui.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o plano tangente em um ponto específico de uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .