Determine a equação do plano tangente à superfície
dada pelo gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano tangente à superfície
que é o gráfico da função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas parciais e geometria dos planos, que vamos precisar entender e aplicar aqui.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o plano tangente em um ponto específico de uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Passo 6
Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A equação do plano tangente é
.