Determine a equação do plano tangente à superfície dada pelo gráfico da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano tangente à superfície que é o gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas parciais e geometria dos planos, que vamos precisar entender e aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o plano tangente em um ponto específico de uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .

Passo 6

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação do plano tangente é .

Exercícios relacionados

Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se uma formiga está no ponto , qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação? Qual é esta taxa? Resp: (b) Deve andar na direção e sentido de , taxa .
Seja
Achar os vetores nos quais existe a derivada direcional .
Seja a função dada por
Calcule onde . (b)Resp: