Determine a equação do plano tangente à superfície S dada pelo gráfico da função z = 4 - x^2 - y^2 no ponto (1, 1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano tangente à superfície que é o gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas parciais e geometria dos planos, que vamos precisar entender e aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o plano tangente em um ponto específico de uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a função é .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .

Passo 6

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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