Achar os vetores nos quais existe a derivada direcional .
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para os outros pontos. O objetivo é encontrar os vetores nos quais a derivada direcional existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como aplicá-lo a funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor unitário é definida como:
No nosso caso, queremos a derivada direcional no ponto .
Passo 3
Vamos aplicar a definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula:
Sabemos que para , a função é . Então, substituindo e :
Passo 4
Agora, substituindo de volta na fórmula da derivada direcional:
Para que esse limite exista, o numerador deve ser proporcional a . No entanto, observamos que o numerador não depende de , a menos que .
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Passo 6
Então, para que a derivada direcional exista em , devemos ter . Além disso, lembrando que é um vetor unitário, ou seja:
Com , temos:
Além disso, também pode ser e , mas como a derivada direcional depende da direção, ambos os casos são válidos.
Resposta
Os vetores nos quais a derivada direcional existe são aqueles na direção de ou , ou seja: