Seja
f(x, y)=rrr 2 x yx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)
Achar os vetores u nos quais existe a derivada direcional Dbaru f(0,0).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para os outros pontos. O objetivo é encontrar os vetores nos quais a derivada direcional existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como aplicá-lo a funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função Du f(a,b) = limh to 0 f(a + h u1, b + h u2) - f(a,b)h em um ponto na direção de um vetor unitário é definida como:
No nosso caso, queremos a derivada direcional no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar a definição à nossa função no ponto Du f(0,0) = limh to 0 f(0 + h u1, 0 + h u2) - f(0,0)h = limh to 0 f(h u1, h u2) - 1h . Substituindo na fórmula:
f(h u1, h u2) = 2 (h u1)(h u2)(h u1)^2 + (h u2)^2 = 2 h^2 u1 u2h^2 (u1^2 + u2^2) = 2 u1 u2u1^2 + u2^2
Sabemos que para , a função é . Então, substituindo e :

Passo 4

Agora, substituindo de volta na fórmula da derivada direcional:
Du f(0,0) = limh to 0 2 u1 u2u1^2 + u2^2 - 1h
Para que esse limite exista, o numerador deve ser proporcional a . No entanto, observamos que o numerador não depende de , a menos que .

Passo 5

Vamos resolver a equação:
2 u1 u2u1^2 + u2^2 - 1 = 0 Rightarrow 2 u1 u2u1^2 + u2^2 = 1 Rightarrow 2 u1 u2 = u1^2 + u2^2 Rightarrow u1^2 - 2 u1 u2 + u2^2 = 0 Rightarrow (u1 - u2)^2 = 0 Rightarrow u1 = u2

Passo 6

Então, para que a derivada direcional exista em u1^2 + u2^2 = 1 , devemos ter 2 u1^2 = 1 Rightarrow u1 = 1raiz2 Rightarrow u2 = 1raiz2 . Além disso, lembrando que é um vetor unitário, ou seja:
Com , temos:
Além disso, também pode ser e , mas como a derivada direcional depende da direção, ambos os casos são válidos.

Resposta

Os vetores u = ( 1raiz2, 1raiz2 ) ou u = ( -1raiz2, -1raiz2 ) nos quais a derivada direcional existe são aqueles na direção de ou , ou seja:

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