Seja
Achar os vetores nos quais existe a derivada direcional .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida de forma diferente para o ponto e para os outros pontos. O objetivo é encontrar os vetores nos quais a derivada direcional existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como aplicá-lo a funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor unitário é definida como:
No nosso caso, queremos a derivada direcional no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar a definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula:
Sabemos que para , a função é . Então, substituindo e :

Passo 4

Agora, substituindo de volta na fórmula da derivada direcional:
Para que esse limite exista, o numerador deve ser proporcional a . No entanto, observamos que o numerador não depende de , a menos que .

Passo 5

Vamos resolver a equação:

Passo 6

Então, para que a derivada direcional exista em , devemos ter . Além disso, lembrando que é um vetor unitário, ou seja:
Com , temos:
Além disso, também pode ser e , mas como a derivada direcional depende da direção, ambos os casos são válidos.

Resposta

Os vetores nos quais a derivada direcional existe são aqueles na direção de ou , ou seja:

Exercícios relacionados

Determine a equação do plano tangente à superfície dada pelo gráfico da função no ponto .
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Seja a função dada por
Calcule onde . (b)Resp:
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga se mover na direção do vetor , ela estará esquentando ou esfriando? Qual a taxa? Resp: © Esfriando, taxa .