Seja
Achar os vetores
nos quais existe a derivada direcional
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função
definida de forma diferente para o ponto
e para os outros pontos. O objetivo é encontrar os vetores
nos quais a derivada direcional
existe. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como aplicá-lo a funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor unitário
é definida como:
No nosso caso, queremos a derivada direcional no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição à nossa função no ponto
. Substituindo na fórmula:
Sabemos que para
, a função é
. Então, substituindo
e
:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na fórmula da derivada direcional:
Para que esse limite exista, o numerador deve ser proporcional a
. No entanto, observamos que o numerador não depende de
, a menos que
.
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Passo 6
Então, para que a derivada direcional exista em
, devemos ter
. Além disso, lembrando que
é um vetor unitário, ou seja:
Com
, temos:
Além disso, também pode ser
e
, mas como a derivada direcional depende da direção, ambos os casos são válidos.
Resposta
Os vetores
nos quais a derivada direcional
existe são aqueles na direção de
ou
, ou seja: