Seja a função dada por
Calcule onde . (b)Resp:

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se está ou não no ponto . Queremos calcular a derivada de em relação a ao longo do caminho definido por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a composição que precisamos derivar. Temos . Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 3

Calculamos as derivadas das componentes de :
No ponto , essas derivadas se tornam:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e para . A função para é:
Calculamos as derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 5

Substituímos e nas derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia no ponto :

Resposta

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Seja
Achar os vetores nos quais existe a derivada direcional .
Determine a equação do plano tangente à superfície dada pelo gráfico da função no ponto .
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga se mover na direção do vetor , ela estará esquentando ou esfriando? Qual a taxa? Resp: © Esfriando, taxa .
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: