Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se está ou não no ponto . Queremos calcular a derivada de em relação a ao longo do caminho definido por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a composição que precisamos derivar. Temos . Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Passo 3
Calculamos as derivadas das componentes de :
No ponto , essas derivadas se tornam:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar e para . A função para é:
Calculamos as derivadas parciais:
Para :
Para :
Passo 5
Substituímos e nas derivadas parciais:
Para :
Para :
Passo 6
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia no ponto :