Seja a função dada por f(x, y) = {( (x - y)²) / (x² + y²) , (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 , (x, y) = (0, 0) }
Calcule d f/d t(g(t))|t=0 onde g(t) = (1 - t^2, 2 + t). (b)Resp: 6/25

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo se está ou não no ponto . Queremos calcular a derivada de em relação a ao longo do caminho definido por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a composição que precisamos derivar. Temos . Para encontrar , aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 3

Calculamos as derivadas das componentes de :
No ponto , essas derivadas se tornam:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e para . A função para é:
Calculamos as derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 5

Substituímos e nas derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia no ponto :

Resposta

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