Determine uma equação quadrática em
e y que representa a hipérbole com focos nos pontos
e
e satisfazendo que o módulo da diferença entre as distâncias de
aos dois focos é sempre igual a 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação quadrática em
e
que representa uma hipérbole. Essa hipérbole tem dois focos nos pontos
e
. Além disso, a diferença das distâncias de qualquer ponto
na hipérbole para esses dois focos deve ser sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos usar a definição da hipérbole baseada na diferença das distâncias aos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição de uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos
tais que a diferença das distâncias de
aos dois focos é constante. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde
representa a distância entre o ponto
e o foco
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as distâncias de
para cada foco. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos focos:
De acordo com a definição da hipérbole:
Passo 4
Vamos eliminar o valor absoluto para facilitar a resolução. Sabemos que a diferença pode ser positiva ou negativa, mas como estamos interessados na equação geral, podemos considerar apenas:
Agora, vamos isolar uma das raízes:
Para eliminar as raízes, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Agora, vamos simplificar e reunir os termos semelhantes:
Ao simplificar os termos à esquerda, percebemos que muitos termos se cancelam:
Dividindo ambos os lados por 4:
Elevando novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Isolando os termos:
Dividindo por 2:
Resposta
A equação quadrática que representa a hipérbole é: