Determine uma equação quadrática em x e y que representa a hipérbole com focos nos pontos F- 1=(-1,-1) e F- 2=(1,1) e satisfazendo que o módulo da diferença entre as distâncias de P=(x, y) aos dois focos é sempre igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação quadrática em e que representa uma hipérbole. Essa hipérbole tem dois focos nos pontos e . Além disso, a diferença das distâncias de qualquer ponto na hipérbole para esses dois focos deve ser sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos usar a definição da hipérbole baseada na diferença das distâncias aos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição de uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos | dist(P, F2) - dist(P, F1) | = 2 tais que a diferença das distâncias de aos dois focos é constante. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde representa a distância entre o ponto e o foco .

Passo 3

Agora, vamos calcular as distâncias de dist = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 para cada foco. A fórmula da distância entre dois pontos dist(P, F1) = raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 e dist(P, F2) = raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 é:
| raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 | = 2
Aplicando isso aos nossos focos:
De acordo com a definição da hipérbole:

Passo 4

Vamos eliminar o valor absoluto para facilitar a resolução. Sabemos que a diferença pode ser positiva ou negativa, mas como estamos interessados na equação geral, podemos considerar apenas:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 2
Agora, vamos isolar uma das raízes:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 2
Para eliminar as raízes, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = ( raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 2 )^2
Expandindo o lado direito:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 4raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 4
Agora, vamos simplificar e reunir os termos semelhantes:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - (x + 1)^2 - (y + 1)^2 - 4 = 4raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2
Ao simplificar os termos à esquerda, percebemos que muitos termos se cancelam:
-4x - 4y - 4 = 4raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2
Dividindo ambos os lados por 4:
- x - y - 1 = raiz(x + 1)^2 + (y + 1)^2
Elevando novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
(x + y + 1)^2 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2
Expandindo ambos os lados:
x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1
Simplificando:
2xy + 1 = 2
Isolando os termos:
2xy = 1
Dividindo por 2:
xy = 12

Resposta

A equação quadrática que representa a hipérbole é:
xy = 12

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