Seja
a excentricidade e
a equação de uma das retas diretrizes de uma elipse cujos focos estão no eixo
e com centro na origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas. Seja
um ponto da elipse com
. Calcule a distância entre P e o foco relativo à diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! O enunciado fala sobre uma elipse com excentricidade
e uma das suas diretrizes é a reta
. Sabemos que os focos da elipse estão no eixo
e que o centro da elipse é na origem
. Tem também um ponto
na elipse com coordenadas
. O que a gente precisa descobrir é a distância entre esse ponto
e o foco que está relacionado à diretriz
.
Para resolver isso, vamos precisar mexer com algumas propriedades da elipse, como os comprimentos dos eixos e a relação entre eles. Também vamos usar a definição da excentricidade e a equação da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na elipse a excentricidade (
) é definida pela relação:
Onde:
-
é a distância do centro aos focos. -
é o semi-eixo maior (a maior distância do centro até a borda da elipse).
Dado que
, podemos reescrever:
Agora, vamos relacionar o comprimento do semi-eixo maior
com a diretriz. A equação da diretriz de uma elipse é dada por:
No nosso caso, uma das diretrizes é
, então:
Então, o semi-eixo maior
é igual a
.
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos calcular
usando a relação que encontramos antes:
Isso significa que os focos da elipse estão localizados a
unidades do centro na direção do eixo
. Como o centro é
, os focos são em
e
.
Passo 4
Vamos descobrir o valor de
usando a equação padrão da elipse:
Sabemos que
, mas precisamos encontrar
, que é o semi-eixo menor. A relação entre
,
e
na elipse é:
Substituindo os valores que já temos:
Agora, vamos usar a coordenada
para encontrar
:
Então, o ponto
pode ser
ou
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre o ponto
e o foco correspondente à diretriz
. Como a diretriz é
, o foco relacionado é aquele que está no mesmo lado positivo do eixo
, ou seja,
.
Usando a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Substituindo os valores:
Então, a distância é
unidades.
Resposta
A distância entre o ponto
e o foco relativo à diretriz
é
unidades.