Seja e=1 / 2 a excentricidade e x=16 a equação de uma das retas diretrizes de uma elipse cujos focos estão no eixo x e com centro na origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas. Seja P=(x0, y0) um ponto da elipse com x0=4. Calcule a distância entre P e o foco relativo à diretriz x=16.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! O enunciado fala sobre uma elipse com excentricidade e = 12 e uma das suas diretrizes é a reta x = 16. Sabemos que os focos da elipse estão no eixo x e que o centro da elipse é na origem (0,0). Tem também um ponto P na elipse com coordenadas (4, y0). O que a gente precisa descobrir é a distância entre esse ponto P e o foco que está relacionado à diretriz x = 16.
Para resolver isso, vamos precisar mexer com algumas propriedades da elipse, como os comprimentos dos eixos e a relação entre eles. Também vamos usar a definição da excentricidade e a equação da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na elipse a excentricidade ( e) é definida pela relação:
e = ca
Onde:
  • c é a distância do centro aos focos.
  • a é o semi-eixo maior (a maior distância do centro até a borda da elipse).
Dado que e = 12, podemos reescrever:
c = e cdot a = 12a
Agora, vamos relacionar o comprimento do semi-eixo maior a com a diretriz. A equação da diretriz de uma elipse é dada por:
Diretriz , x = pm ae
No nosso caso, uma das diretrizes é x = 16, então:
ae = 16 a12 = 16 a = 8
Então, o semi-eixo maior a é igual a 8.

Passo 3

Agora que sabemos que a = 8, podemos calcular c usando a relação que encontramos antes:
c = 12a = 12 times 8 = 4
Isso significa que os focos da elipse estão localizados a 4 unidades do centro na direção do eixo x. Como o centro é (0,0), os focos são em (4,0) e (-4,0).

Passo 4

Vamos descobrir o valor de y0 usando a equação padrão da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Sabemos que a = 8, mas precisamos encontrar b, que é o semi-eixo menor. A relação entre a, b e c na elipse é:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que já temos:
4^2 = 8^2 - b^2 16 = 64 - b^2 b^2 = 64 - 16 b^2 = 48 b = raiz48 = 4raiz3
Agora, vamos usar a coordenada x0 = 4 para encontrar y0:
4^28^2 + y0^248 = 1 1664 + y0^248 = 1 14 + y0^248 = 1 y0^248 = 1 - 14 y0^248 = 34 y0^2 = 48 times 34 = 36 y0 = pm 6
Então, o ponto P pode ser (4, 6) ou (4, -6).

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto P(4,6) e o foco correspondente à diretriz x = 16. Como a diretriz é x = 16, o foco relacionado é aquele que está no mesmo lado positivo do eixo x, ou seja, (4,0).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2):
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(4 - 4)^2 + (6 - 0)^2 = raiz0 + 36 = raiz36 = 6
Então, a distância é 6 unidades.

Resposta

A distância entre o ponto P e o foco relativo à diretriz x = 16 é 6 unidades.

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