Sejam
e
constantes tais que
. Suponha que a cônica representada pelos pontos
que satisfazem a equação
tem a mesma excentricidade que
. Determine a relação entre as constantes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas constantes,
e
, onde
. A equação
representa uma cônica, que nesse caso é uma elipse porque
. A questão diz que essa elipse tem a mesma excentricidade que a elipse dada por
. Nosso objetivo é descobrir qual é a relação entre
e
baseada nessa informação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é excentricidade. A excentricidade
de uma elipse mede o quanto ela é alongada. A fórmula para calcular a excentricidade de uma elipse é:
Vamos aplicar isso para a elipse conhecida
.
Passo 3
Para a elipse
, temos
e
. Calculando a excentricidade:
Então, a excentricidade dessa elipse é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a excentricidade da elipse desconhecida
usando a mesma fórmula:
Sabemos que essa excentricidade deve ser igual a
.
Passo 5
Vamos igualar as duas excentricidades:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Em seguida, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 8
Agora, vamos trazer todos os termos para o mesmo lado da equação:
Passo 9
Para achar a relação entre
e
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Ou, reorganizando:
Resposta
A relação entre
e
é
.