Sejam a e b constantes tais que a>b. Suponha que a cônica representada pelos pontos P=(x, y) que satisfazem a equação x^wed>= 2 / a^wed>= 2+y^wed>= 2 / b^wed>= 2=1 tem a mesma excentricidade que (x^wed>= 2) / 25+(y^wed>= 2) / 9=1. Determine a relação entre as constantes

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas constantes, e , onde . A equação representa uma cônica, que nesse caso é uma elipse porque . A questão diz que essa elipse tem a mesma excentricidade que a elipse dada por . Nosso objetivo é descobrir qual é a relação entre e baseada nessa informação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é excentricidade. A excentricidade e = raiza^2 - b^2a de uma elipse mede o quanto ela é alongada. A fórmula para calcular a excentricidade de uma elipse é:
Vamos aplicar isso para a elipse conhecida .

Passo 3

Para a elipse e = raiz25 - 95 = raiz165 = 45 , temos e . Calculando a excentricidade:
Então, a excentricidade dessa elipse é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a excentricidade da elipse desconhecida e = raiza^2 - b^2a usando a mesma fórmula:
Sabemos que essa excentricidade deve ser igual a .

Passo 5

Vamos igualar as duas excentricidades:
raiza^2 - b^2a = 45
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e .

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por raiza^2 - b^2 = 4a5 para eliminar o denominador:

Passo 7

Em seguida, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
a^2 - b^2 = (4a5)^2
a^2 - b^2 = 16a^225

Passo 8

Agora, vamos trazer todos os termos para o mesmo lado da equação:
a^2 - 16a^225 = b^2
25a^2 - 16a^225 = b^2
9a^225 = b^2

Passo 9

Para achar a relação entre 3a5 = b e a = 5b3 , vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Ou, reorganizando:

Resposta

A relação entre e é .

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