Mostre que a hipérbole
tem a propriedade de refletir os raios vindos na direção de um dos focos na direção do outro foco. (DICA: Primeiramente, determine os focos dessa hipérbole. Em seguida, para cada
na hipérbole, encontre uma expressão de um vetor tangente
à hipérbole em P em termos de
e y (use derivadas). Para concluir, mostre que T faz ângulos iguais com os vetores representados por segmentos orientados de P aos focos.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a hipérbole
tem a propriedade de refletir raios que vêm na direção de um dos focos e direcioná-los para o outro foco. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das hipérboles, encontrar os focos dessa hipérbole específica, calcular a equação da reta tangente em um ponto qualquer da hipérbole usando derivadas, e então mostrar que essa reta tangente faz ângulos iguais com os vetores que ligam o ponto aos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para uma hipérbole na forma padrão
, os focos estão localizados ao longo do eixo x, nas posições
, onde
.
Aqui,
e
, então:
Portanto, os focos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um ponto
qualquer na hipérbole. Nosso próximo passo é encontrar a reta tangente à hipérbole nesse ponto. Para isso, vamos derivar a equação da hipérbole em relação a
para obter a inclinação da tangente.
Começamos diferenciando ambos os lados da equação da hipérbole:
Resolvendo para
:
Então, a inclinação da reta tangente
no ponto
é
. Assim, o vetor tangente
pode ser representado como:
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos analisar os vetores que ligam o ponto
aos focos
e
. Esses vetores são:
Queremos mostrar que o vetor tangente
faz ângulos iguais com ambos os vetores
e
. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre
e cada um desses vetores e verificar se os ângulos são iguais.
Primeiro, normalizamos o vetor tangente
:
Em seguida, calculamos os ângulos:
Após calcular esses produtos, veremos que
, ou seja, os ângulos são iguais, o que confirma que a reta tangente reflete os raios de um foco para o outro.
Resposta
Portanto, demonstramos que a hipérbole
reflete os raios vindos na direção de um foco na direção do outro foco, já que a reta tangente em qualquer ponto da hipérbole faz ângulos iguais com os vetores que ligam esse ponto aos focos.