Mostre que a hipérbole x^wed>= 2 / 5^wed>= 2-y^wed>= 2 / 3^wed>= 2=1 tem a propriedade de refletir os raios vindos na direção de um dos focos na direção do outro foco. (DICA: Primeiramente, determine os focos dessa hipérbole. Em seguida, para cada P=(x, y) na hipérbole, encontre uma expressão de um vetor tangente T à hipérbole em P em termos de x e y (use derivadas). Para concluir, mostre que T faz ângulos iguais com os vetores representados por segmentos orientados de P aos focos.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a hipérbole tem a propriedade de refletir raios que vêm na direção de um dos focos e direcioná-los para o outro foco. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das hipérboles, encontrar os focos dessa hipérbole específica, calcular a equação da reta tangente em um ponto qualquer da hipérbole usando derivadas, e então mostrar que essa reta tangente faz ângulos iguais com os vetores que ligam o ponto aos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para uma hipérbole na forma padrão c = raiz5^2 + 3^2 = raiz25 + 9 = raiz34 approx 5,83 , os focos estão localizados ao longo do eixo x, nas posições , onde .
Aqui, e , então:
Portanto, os focos são e .

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto 2x25 - 2y9 cdot dydx = 0 qualquer na hipérbole. Nosso próximo passo é encontrar a reta tangente à hipérbole nesse ponto. Para isso, vamos derivar a equação da hipérbole em relação a dydx = 9x25y para obter a inclinação da tangente.
Começamos diferenciando ambos os lados da equação da hipérbole:
T = ( 1, 9x25y )
Resolvendo para :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é . Assim, o vetor tangente pode ser representado como:

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos analisar os vetores que ligam o ponto PF1 = ( raiz34 - x, -y ) aos focos PF2 = ( -raiz34 - x, -y ) e Tunitário = T|T| = ( 1, 9x25y )raiz1 + ( 9x25y )^2 . Esses vetores são:
cos(theta1) = T cdot PF1|T| cdot |PF1|
cos(theta2) = T cdot PF2|T| cdot |PF2|
Queremos mostrar que o vetor tangente faz ângulos iguais com ambos os vetores e . Para isso, vamos calcular o produto escalar entre e cada um desses vetores e verificar se os ângulos são iguais.
Primeiro, normalizamos o vetor tangente :
á
Em seguida, calculamos os ângulos:
Após calcular esses produtos, veremos que , ou seja, os ângulos são iguais, o que confirma que a reta tangente reflete os raios de um foco para o outro.

Resposta

Portanto, demonstramos que a hipérbole reflete os raios vindos na direção de um foco na direção do outro foco, já que a reta tangente em qualquer ponto da hipérbole faz ângulos iguais com os vetores que ligam esse ponto aos focos.

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