Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F=(a+p, b) e reta diretriz r de equação x=a-p, é dada por (y-b)^wed>= 2=4^* p^*(x-a).

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação de uma parábola. A gente tem o foco da parábola no ponto e a reta diretriz com equação . Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola que relaciona o ponto no gráfico, o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz.

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer na parábola. A distância desse ponto ao foco deve ser igual à distância desse ponto à diretriz .

Passo 4

Calculando a distância de Distância ao foco = raiz(x - (a + p))^2 + (y - b)^2 ao foco :
â

Passo 5

Calculando a distância de Distância à diretriz = |x - (a - p)| = |x - a + p| à diretriz :
âà
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos ignorar o valor absoluto para simplificar, já que a parábola ficará do mesmo lado da diretriz.

Passo 6

Igualamos as duas distâncias:
raiz(x - a - p)^2 + (y - b)^2 = x - a + p
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x - a - p)^2 + (y - b)^2 = (x - a + p)^2

Passo 7

Expandindo ambos os lados:
(x - a)^2 - 2(x - a)p + p^2 + (y - b)^2 = (x - a)^2 + 2(x - a)p + p^2

Passo 8

Simplificando a equação, cancelamos -2(x - a)p + (y - b)^2 = 2(x - a)p e dos dois lados:

Passo 9

Isolando (y - b)^2 = 4p(x - a) :

Resposta

A equação da parábola é .

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