Mostre que a equação da parábola com foco no ponto
e reta diretriz
de equação
, é dada por
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a equação de uma parábola. A gente tem o foco da parábola no ponto
e a reta diretriz com equação
. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola que relaciona o ponto no gráfico, o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz.
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer
na parábola. A distância desse ponto ao foco
deve ser igual à distância desse ponto à diretriz
.
Passo 4
Calculando a distância de
ao foco
:
Passo 5
Calculando a distância de
à diretriz
:
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos ignorar o valor absoluto para simplificar, já que a parábola ficará do mesmo lado da diretriz.
Passo 6
Igualamos as duas distâncias:
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Expandindo ambos os lados:
Passo 8
Simplificando a equação, cancelamos
e
dos dois lados:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A equação da parábola é
.