Determine a equação reduzida da circunferência alpha sabendo que ela é concêntrica (mesmo centro) com a circunferência de equação x^2+y^2-10 x+2 y+13=0 e tem o dobro do raio da circunferência de equação x^2+y^2+12 x+4 y+36=0.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar a equação reduzida da circunferência alpha. Sabemos que alpha tem o mesmo centro que a circunferência dada por x^2 + y^2 - 10x + 2y + 13 = 0 e que seu raio é o dobro do raio da circunferência x^2 + y^2 + 12x + 4y + 36 = 0. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o centro das circunferências dadas. A equação geral de uma circunferência é x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, onde o centro é (-g, -f) e o raio é raizg^2 + f^2 - c. Vamos aplicar isso às circunferências fornecidas.

Passo 3

Para a circunferência x^2 + y^2 - 10x + 2y + 13 = 0, comparando com a forma geral:
  • 2g = -10 g = -5
  • 2f = 2 f = 1
Então, o centro é (-g, -f) = (5, -1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o raio da circunferência x^2 + y^2 + 12x + 4y + 36 = 0. Usando a mesma fórmula:
  • 2g = 12 g = 6
  • 2f = 4 f = 2
Centro: (-g, -f) = (-6, -2)
Raio: raizg^2 + f^2 - c = raiz6^2 + 2^2 - 36 = raiz36 + 4 - 36 = raiz4 = 2

Passo 5

A circunferência alpha tem o mesmo centro da primeira circunferência, que é (5, -1). Além disso, seu raio é o dobro do raio da segunda circunferência, ou seja, 2 times 2 = 4.

Resposta

A equação reduzida da circunferência alpha é (x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 16.

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