Determine a equação reduzida da elipse onde:
Os vértices são: B1=(-2,0), B2=(2,0), A1=(0,-3) e A2=(0,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem os vértices da elipse: , , e . Vou te mostrar como encontrar a equação reduzida dessa elipse passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os pontos dados. Os vértices e estão no eixo horizontal, enquanto e estão no eixo vertical. Isso nos indica que a elipse está alinhada com os eixos coordenados, ou seja, não está inclinada.

Passo 3

A equação padrão de uma elipse alinhada com os eixos coordenados é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • é o centro da elipse.
  • é o semieixo maior.
  • é o semieixo menor.

Passo 4

Vamos encontrar o centro h = 0, k = 0 . Como os vértices estão simétricos em relação à origem, o centro está na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Então, a equação simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos identificar a = 2 e b = 3 . Observando os vértices horizontais e , a distância do centro até um vértice horizontal é :
E observando os vértices verticais e , a distância do centro até um vértice vertical é :

Passo 6

Substituindo x^22^2 + y^23^2 = 1 e x^24 + y^29 = 1 na equação da elipse:
Isso simplifica para:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^24 + y^29 = 1

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