Determine as equações das retas paralelas a r: x+2 y=2 que distam 5 unidades de r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas que são paralelas à reta e que estão a uma distância de 5 unidades dessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da reta x + 2y - 2 = 0 . Ela está na forma geral , que é útil para aplicar a fórmula da distância. Reescrevendo a equação de :
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar retas que são paralelas a x + 2y + C = 0 . Sabemos que retas paralelas têm os mesmos coeficientes e . Então, as retas procuradas terão a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que garantem que essas retas estejam a 5 unidades de distância da reta .

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a fórmula:
d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2
Nesse caso, 5 = |C - (-2)|raiz1^2 + 2^2 5 = |C + 2|raiz5 |C + 2| = 5raiz5 , , , (da reta ) e (das retas que queremos encontrar). Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas possibilidades:


Resposta

As equações das retas paralelas a x + 2y = -2 + 5raiz5 que estão a 5 unidades de distância de x + 2y = -2 - 5raiz5 são:
e

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