Determine as equações das retas paralelas a que distam 5 unidades de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas que são paralelas à reta e que estão a uma distância de 5 unidades dessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da reta . Ela está na forma geral , que é útil para aplicar a fórmula da distância. Reescrevendo a equação de :
Aqui, , e .
Passo 3
Agora, queremos encontrar retas que são paralelas a . Sabemos que retas paralelas têm os mesmos coeficientes e . Então, as retas procuradas terão a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que garantem que essas retas estejam a 5 unidades de distância da reta .
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a fórmula:
Nesse caso, , , , (da reta ) e (das retas que queremos encontrar). Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resposta
As equações das retas paralelas a que estão a 5 unidades de distância de são: