Determine as equações das retas paralelas a
que distam 5 unidades de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas que são paralelas à reta
e que estão a uma distância de 5 unidades dessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da reta
. Ela está na forma geral
, que é útil para aplicar a fórmula da distância. Reescrevendo a equação de
:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar retas que são paralelas a
. Sabemos que retas paralelas têm os mesmos coeficientes
e
. Então, as retas procuradas terão a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
que garantem que essas retas estejam a 5 unidades de distância da reta
.
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a fórmula:
Nesse caso,
,
,
,
(da reta
) e
(das retas que queremos encontrar). Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resposta
As equações das retas paralelas a
que estão a 5 unidades de distância de
são:
e