Determine as equações das retas paralelas a que distam 5 unidades de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações das retas que são paralelas à reta e que estão a uma distância de 5 unidades dessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da reta . Ela está na forma geral , que é útil para aplicar a fórmula da distância. Reescrevendo a equação de :
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar retas que são paralelas a . Sabemos que retas paralelas têm os mesmos coeficientes e . Então, as retas procuradas terão a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que garantem que essas retas estejam a 5 unidades de distância da reta .

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a fórmula:
Nesse caso, , , , (da reta ) e (das retas que queremos encontrar). Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas possibilidades:


Resposta

As equações das retas paralelas a que estão a 5 unidades de distância de são:
e

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a) 10
b) 11
c) 12
d) 13