Determine a equação reduzida da reta que: passa por A(-1,2,3) e é ortogonal a XOY;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria espacial. O enunciado pede para encontrar a equação reduzida da reta que passa pelo ponto e é ortogonal ao plano XOY. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano e como construir a equação reduzida dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ser ortogonal a um plano. Quando uma reta é ortogonal a um plano, ela forma um ângulo de 90 graus com todo vetor que está no plano. No caso, o plano XOY é o plano que contém os eixos X e Y, e tem uma direção perpendicular ao eixo Z.

Passo 3

Sabendo disso, a direção da nossa reta ortogonal ao plano XOY será paralela ao eixo Z. Isso significa que o vetor diretor da reta tem componentes . Ou seja, a reta não se move nas direções X e Y, apenas na direção Z.

Passo 4

Agora, sabendo o ponto pelo qual a reta passa, que é x - x0a = y - y0b = z - z0c , podemos montar a equação reduzida da reta. A equação reduzida de uma reta no espaço é dada por:
Onde é o ponto conhecido e são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto x + 10 = y - 20 = z - 31 , então , , .
  • Vetor diretor , então , , .
Então, a equação fica:

Passo 6

Note que x = -1, y = 2, z = 3 + t e não são definidos, o que indica que e são constantes. Portanto, a equação reduzida da reta pode ser escrita diretamente como:
Onde é o parâmetro da reta.

Passo 7

Simplificando, a equação reduzida da reta que passa por boxed x = -1 y = 2 z = 3 + t e é ortogonal ao plano XOY é:

Resposta

boxed x = -1 y = 2 z = 3 + t

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