Determine a equação reduzida da reta que: passa por A(1,2,4) e é paralela a y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(1, 2, 4) e é paralela ao eixo y. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como representar uma reta no espaço usando pontos e vetores diretores, e como identificar a direção quando a reta é paralela a um dos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma reta no espaço pode ser escrita em termos das coordenadas , e como frações igualadas a um parâmetro. Mas para isso, precisamos saber um ponto pela qual a reta passa e um vetor diretor que indica a direção da reta.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que a reta passa por . Esse será nosso ponto de referência. Agora, como a reta é paralela ao eixo y, isso significa que a direção da reta é a mesma do eixo y. O vetor diretor do eixo y é . Ou seja, a reta segue a direção vertical do plano cartesiano.

Passo 4

Com o ponto x - x0a = y - y0b = z - z0c e o vetor diretor , podemos montar a equação reduzida da reta. A equação reduzida tem a forma:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto x - 10 = y - 21 = z - 40 : , ,
  • Vetor diretor : , ,
Então, a equação fica:

Passo 6

Observamos que temos divisões por zero, o que indica que x = 1 e z = 4 e não variam; elas são constantes. Isso faz sentido, já que a reta é paralela ao eixo y e, portanto, só muda na direção de y. Assim, podemos escrever a equação de forma mais simples:
E para , ela varia livremente.

Resposta

A equação reduzida da reta é , .

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