Verifique quais pontos pertencem a reta r : x-2-1=y-1-2=z1 e A(1,-1,1) B(-1,1,4) C(2,2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar quais dos pontos A(1, -1, 1), B(-1, 1, 4) e C(2, 2, 0) pertencem à reta definida pelas equações . Para resolver isso, vamos usar o conceito de equação paramétrica da reta. Precisamos encontrar se existe um valor de parâmetro que faça com que as coordenadas dos pontos coincidam com as coordenadas na reta .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta x = x0 + at de uma forma mais amigável usando um parâmetro y = y0 + bt . Sabemos que uma reta no espaço tridimensional pode ser escrita assim:
z = z0 + ct
x = 2 - t
y = 1 - 2t
Onde z = 0 + t é um ponto que pertence à reta e x = 2 - t são os coeficientes diretores. Com isso, podemos parametrizar a reta y = 1 - 2t :
z = t
Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto A(1, -1, 1). Para isso, substituímos as coordenadas de A nas equações paramétricas e vemos se conseguimos encontrar um valor de 1 = 2 - t implies t = 1 que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Para -1 = 1 - 2t implies -2 = -2t implies t = 1 :
1 = t implies t = 1
Para :
Para :
Como encontrou o mesmo para todas as coordenadas, o ponto A pertence à reta .

Passo 4

Vamos agora verificar o ponto B(-1, 1, 4). Substituímos as coordenadas de B nas equações paramétricas.
Para -1 = 2 - t implies t = 3 :
1 = 1 - 2t implies 0 = -2t implies t = 0
Para :
Já temos um problema: para , , mas para , . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o ponto B não pertence à reta .

Passo 5

Por fim, vamos verificar o ponto C(2, 2, 0). Substituímos as coordenadas de C nas equações paramétricas.
Para 2 = 2 - t implies t = 0 :
2 = 1 - 2t implies 1 = -2t implies t = -12
Para :
Novamente, temos valores diferentes para : para e para . Logo, o ponto C não pertence à reta .

Resposta

Apenas o ponto A(1, -1, 1) pertence à reta .

Exercícios relacionados