Determine a equação da reta no espaço que passa pelos pontos (2,1,-1) e (5,3,2).**

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente precisa encontrar a equação da reta no espaço que passa pelos pontos e . Para isso, vamos trabalhar com Vetores e Equações de Retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e usar um dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é basicamente a direção em que a reta está apontando e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados.
Se temos os pontos v = Q - P = (5-2, 3-1, 2-(-1)) = (3, 2, 3) e , o vetor diretor é:

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + a t , podemos usar as equações paramétricas da reta. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto y = y0 + b t e tem vetor diretor z = z0 + c t é:
Onde é um parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 4

Vamos escolher o ponto x = 2 + 3t para substituir na equação. Então, substituindo os valores:
y = 1 + 2t
z = -1 + 3t

Resposta

A equação da reta no espaço que passa pelos pontos x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = -1 + 3t e é:
Onde é um parâmetro real.

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