Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 x-3 y=7 e passa pelo ponto (3,-2). ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que é perpendicular à reta dada pela equação e que passa pelo ponto . Aqui, vamos utilizar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas e pendentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que a gente já tem: 2x - 3y = 7 -3y = -2x + 7 y = 23x - 73 . Para trabalhar melhor, vamos colocar essa equação na forma de , onde é a pendente da reta.
Vamos resolver para :
Então, a pendiente da reta dada é .

Passo 3

Como a reta que a gente quer achar é perpendicular à reta m2 = -1m1 = -123 = -32 , a pendente dessa nova reta vai ser o recíproco negativo da pendente .
Calculando:

Passo 4

Agora que sabemos a pendente da reta perpendicular ( y - y1 = m(x - x1) ) e que ela passa pelo ponto y - (-2) = -32(x - 3) y + 2 = -32x + 92 , vamos usar a forma ponto-pendiente para encontrar a equação da reta.
A fórmula é:
Onde é o ponto pela qual a reta passa.
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma mais conhecida, que é y = -32x + 92 - 2 y = -32x + 92 - 42 y = -32x + 52 :

Resposta

A equação da reta perpendicular a y = -32x + 52 e que passa pelo ponto é:

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