Determine a equação da reta no espaço que passa pelos pontos (4,5,6) e (-1,0,1). ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação de uma reta no espaço que passa pelos pontos (4,5,6) e (-1,0,1). Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar um ponto qualquer na reta e o vetor diretor que indica a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois pontos dados: P1 = (4,5,6) e P2 = (-1,0,1). A partir desses pontos, podemos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor v é calculado subtraindo as coordenadas de P2 das de P1:
v = P2 - P1 = (-1 - 4, 0 - 5, 1 - 6) = (-5, -5, -5)

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor v = (-5, -5, -5), podemos simplificá-lo dividindo por -5 para facilitar a equação:
v = (1, 1, 1)

Passo 4

Com um ponto na reta, digamos P1 = (4,5,6), e o vetor diretor v = (1, 1, 1), podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
x = 4 + 1t y = 5 + 1t z = 6 + 1t
Ou simplificando:
x = 4 + t y = 5 + t z = 6 + t

Resposta

A equação da reta no espaço que passa pelos pontos (4,5,6) e (-1,0,1) é:
x = 4 + t y = 5 + t z = 6 + t
Onde t é um parâmetro real.

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