Determine a equação da reta que forma um ângulo de 45^circ com a reta y=-2 x+3 e passa pelo ponto (0,1))^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de uma reta que forma um ângulo de 45^circ com a reta y = -2x + 3 e que passa pelo ponto (0,1). Vamos precisar usar conceitos de inclinação de retas e fórmula para calcular o ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação de uma reta na forma y = mx + b é o valor de m. Na reta dada y = -2x + 3, a inclinação m1 é -2.

Passo 3

Queremos encontrar a inclinação m2 da reta que forma um ângulo de 45^circ com a reta dada. A fórmula para o ângulo theta entre duas retas com inclinações m1 e m2 é:
tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 |
Aqui, theta = 45^circ.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
tan(45^circ) = | m2 - (-2)1 + (-2)m2 |
Sabemos que tan(45^circ) = 1, então:
1 = | m2 + 21 - 2m2 |

Passo 5

Vamos resolver a equação sem o valor absoluto, lembrando que pode haver duas possibilidades:
  1. m2 + 21 - 2m2 = 1
  2. m2 + 21 - 2m2 = -1

Passo 6

Para a primeira possibilidade:
m2 + 21 - 2m2 = 1 m2 + 2 = 1 - 2m2 m2 + 2m2 = 1 - 2 3m2 = -1 m2 = -13

Passo 7

Para a segunda possibilidade:
m2 + 21 - 2m2 = -1 m2 + 2 = -1 + 2m2 m2 - 2m2 = -1 - 2 - m2 = -3 m2 = 3

Passo 8

Então, temos duas possíveis inclinações para a reta que buscamos: m2 = -13 e m2 = 3.

Passo 9

Agora, usamos a forma da equação da reta y = mx + b. Sabemos que a reta passa pelo ponto (0,1), então quando x = 0, y = 1. Substituindo na equação:
Para m2 = -13:
1 = -13(0) + b Rightarrow b = 1
Então, a equação é y = -13x + 1.
Para m2 = 3:
1 = 3(0) + b Rightarrow b = 1
Então, a equação é y = 3x + 1.

Resposta

As equações das retas que formam um ângulo de 45^circ com a reta y = -2x + 3 e passam pelo ponto (0,1) são:
y = -13x + 1 e y = 3x + 1

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