Nos itens a seguir, sinalize quais determinam a equação de uma superfície quádrica e quais que não determinam, justificando suas escolhas.
x^2+2 x y+3 y z-z^2+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação e precisa descobrir se ela representa uma superfície quadrática (ou “quádrica”) ou não. A equação que temos é:
x^2 + 2xy + 3yz - z^2 + 1 = 0
Para resolver isso, vamos lembrar um pouco sobre as superfícies quadráticas e ver como essa equação se encaixa nisso.

Passo 2

Primeiro, o que é uma superfície quadrática? Basicamente, é qualquer superfície no espaço tridimensional que pode ser descrita por uma equação de segundo grau nas variáveis , e . Isso inclui esferas, elipsoides, paraboloides, hiperbólicas, etc.
As características principais de uma superfície quadrática são os termos de segundo grau, os termos cruzados ( , , ), e possivelmente termos de primeiro grau ou constantes.

Passo 3

Olhemos agora para a nossa equação:
x^2 + 2xy + 3yz - z^2 + 1 = 0
Vamos identificar os termos:
  • Termos de segundo grau: , , ,
  • Termo constante:
Não temos termos lineares ( , , ) aqui, mas isso não é problema para uma superfície quadrática.

Passo 4

Como todos os termos de , , e estão até o segundo grau e temos combinações de multiplicações entre as variáveis (como e ), isso encaixa perfeitamente na definição de uma superfície quadrática.
Além disso, a presença do termo constante não impede que a equação seja de uma superfície quadrática; apenas desloca a posição da superfície no espaço.

Resposta

Sim, a equação determina uma superfície quadrática, pois é uma equação de segundo grau nas variáveis , e , incluindo termos cruzados e um termo constante.

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