Sejam e duas matrizes de mesma ordem e simétricas. Prove que é simétrica se e são comutáveis e vice-versa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes simétricas e comutáveis. A gente tem duas matrizes, e , que são simétricas e têm a mesma ordem. A gente precisa provar que o produto também é simétrico, mas isso só vale se e comutarem, ou seja, se . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes transpostas e simétricas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, para a matriz , isso significa que , e para , .
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto e calcular sua transposta. Usando a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, temos:
Passo 4
Como e são simétricas, sabemos que e . Substituindo na equação anterior, fica:
Passo 5
Para que seja simétrico, precisamos que . Logo, temos:
Isso significa que e devem comutar.
Passo 6
Portanto, mostramos que se e são simétricas e comutam (), então também é simétrica ().
Passo 7
Agora, para o “vice-versa”, assumimos que é simétrica. Então, . Mas sabemos que , então:
Isso mostra que e comutam.
Resposta
Se e são matrizes simétricas que comutam (), então o produto também é simétrico. E vice-versa, se é simétrico, então e comutam.