Sejam
e
duas matrizes de mesma ordem e simétricas. Prove que
é simétrica se
e
são comutáveis e vice-versa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes simétricas e comutáveis. A gente tem duas matrizes,
e
, que são simétricas e têm a mesma ordem. A gente precisa provar que o produto
também é simétrico, mas isso só vale se
e
comutarem, ou seja, se
. Para isso, vamos usar propriedades de matrizes transpostas e simétricas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, para a matriz
, isso significa que
, e para
,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto
e calcular sua transposta. Usando a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, temos:
Passo 4
Como
e
são simétricas, sabemos que
e
. Substituindo na equação anterior, fica:
Passo 5
Para que
seja simétrico, precisamos que
. Logo, temos:
Isso significa que
e
devem comutar.
Passo 6
Portanto, mostramos que se
e
são simétricas e comutam (
), então
também é simétrica (
).
Passo 7
Agora, para o “vice-versa”, assumimos que
é simétrica. Então,
. Mas sabemos que
, então:
Isso mostra que
e
comutam.
Resposta
Se
e
são matrizes simétricas que comutam (
), então o produto
também é simétrico. E vice-versa, se
é simétrico, então
e
comutam.