Sejam M e N duas matrizes de mesma ordem e simétricas. Prove que M N é simétrica se M e N são comutáveis e vice-versa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes simétricas e comutáveis. A gente tem duas matrizes, e , que são simétricas e têm a mesma ordem. A gente precisa provar que o produto também é simétrico, mas isso só vale se e comutarem, ou seja, se . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes transpostas e simétricas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, para a matriz , isso significa que , e para , .

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto (MN)^T = N^T M^T e calcular sua transposta. Usando a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, temos:

Passo 4

Como (MN)^T = N M e são simétricas, sabemos que e . Substituindo na equação anterior, fica:

Passo 5

Para que N M = M N seja simétrico, precisamos que . Logo, temos:
Isso significa que e devem comutar.

Passo 6

Portanto, mostramos que se e são simétricas e comutam ( ), então também é simétrica ( ).

Passo 7

Agora, para o “vice-versa”, assumimos que NM = MN é simétrica. Então, . Mas sabemos que , então:
Isso mostra que e comutam.

Resposta

Se e são matrizes simétricas que comutam ( ), então o produto também é simétrico. E vice-versa, se é simétrico, então e comutam.

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