Determine a equação da reta normal à curva , com inclinação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a equação da reta normal à curva que tem inclinação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, consequentemente, da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta normal é perpendicular à reta tangente na curva. Se a inclinação da reta tangente for , a inclinação da reta normal será . Mas, no nosso caso, já nos deram a inclinação da reta normal: . Então, precisamos achar onde na curva a reta tangente tem inclinação .
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada nos dá exatamente essa inclinação:
Passo 4
Sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser . Então, igualamos a derivada a esse valor:
Passo 5
Resolvendo a equação para :
Então, temos dois pontos onde a inclinação da reta normal é : e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos na curva :
Para :
Para :
Então, os pontos são e .
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula da reta, que é , onde é a inclinação e é o ponto pela qual a reta passa. Temos e os dois pontos que encontramos.
Passo 8
Para o ponto :
Passo 9
Para o ponto :
Resposta
As equações das retas normais à curva com inclinação são: