Determine a equação da reta normal à curva y = -x^3 / 6, com inclinação m = 8 / 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a equação da reta normal à curva que tem inclinação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, consequentemente, da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta normal é perpendicular à reta tangente na curva. Se a inclinação da reta tangente for , a inclinação da reta normal será . Mas, no nosso caso, já nos deram a inclinação da reta normal: . Então, precisamos achar onde na curva a reta tangente tem inclinação .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada nos dá exatamente essa inclinação:

Passo 4

Sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser . Então, igualamos a derivada a esse valor:

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Então, temos dois pontos onde a inclinação da reta normal é : e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos na curva :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos são e .

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da reta, que é , onde é a inclinação e é o ponto pela qual a reta passa. Temos e os dois pontos que encontramos.

Passo 8

Para o ponto :

Passo 9

Para o ponto :

Resposta

As equações das retas normais à curva com inclinação são:
e

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