Determine a equação da reta normal à curva
, com inclinação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a equação da reta normal à curva
que tem inclinação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, consequentemente, da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta normal é perpendicular à reta tangente na curva. Se a inclinação da reta tangente for
, a inclinação da reta normal será
. Mas, no nosso caso, já nos deram a inclinação da reta normal:
. Então, precisamos achar onde na curva a reta tangente tem inclinação
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada
nos dá exatamente essa inclinação:
Passo 4
Sabemos que a inclinação da reta tangente
deve ser
. Então, igualamos a derivada a esse valor:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Então, temos dois pontos onde a inclinação da reta normal é
:
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos na curva
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula da reta, que é
, onde
é a inclinação e
é o ponto pela qual a reta passa. Temos
e os dois pontos que encontramos.
Passo 8
Para o ponto
:
Passo 9
Para o ponto
:
Resposta
As equações das retas normais à curva
com inclinação
são:
e