Existe algum ponto no qual a função não é derivável? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos saber se existe algum ponto onde essa função não é derivável. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivada e propriedades das funções absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando uma função não é derivável. Geralmente, isso acontece em pontos onde a função tem um “ponto agudo” ou uma “quebra” no gráfico, o que significa que a derivada não está definida ali.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dentro do valor absoluto: . Precisamos descobrir onde é zero, porque é nesses pontos que a função original pode ter “quebras”.
Passo 4
Resolvendo :
Então, ou . Esses são os pontos onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, potencialmente causando pontos de não derivabilidade.
Passo 5
Para cada intervalo determinado por esses pontos, vamos remover o valor absoluto e analisar a derivada:
Para e , é positivo, então .
Para , é negativo, então .
Passo 6
Vamos derivar em cada intervalo:
Para e :
Para :
Passo 7
Agora, vamos verificar o comportamento da derivada nos pontos e :
Em :
A derivada pela esquerda ():
A derivada pela direita ():
Como as derivadas laterais são diferentes (), a derivada não existe em .
Em :
A derivada pela esquerda ():
A derivada pela direita ():
Novamente, as derivadas laterais são diferentes (), então a derivada não existe em .
Resposta
Sim, a função não é derivável nos pontos e porque, nesses pontos, as derivadas laterais são diferentes, criando “quebras” no gráfico da função.