Existe algum ponto no qual a função não é derivável? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos saber se existe algum ponto onde essa função não é derivável. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivada e propriedades das funções absolutas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando uma função não é derivável. Geralmente, isso acontece em pontos onde a função tem um “ponto agudo” ou uma “quebra” no gráfico, o que significa que a derivada não está definida ali.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dentro do valor absoluto: . Precisamos descobrir onde é zero, porque é nesses pontos que a função original pode ter “quebras”.

Passo 4

Resolvendo :
Então, ou . Esses são os pontos onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, potencialmente causando pontos de não derivabilidade.

Passo 5

Para cada intervalo determinado por esses pontos, vamos remover o valor absoluto e analisar a derivada:
  • Para e , é positivo, então .
  • Para , é negativo, então .

Passo 6

Vamos derivar em cada intervalo:
  • Para e :
  • Para :

Passo 7

Agora, vamos verificar o comportamento da derivada nos pontos e :
  • Em :
    • A derivada pela esquerda ( ):
    • A derivada pela direita ( ):
    • Como as derivadas laterais são diferentes ( ), a derivada não existe em .
  • Em :
    • A derivada pela esquerda ( ):
    • A derivada pela direita ( ):
    • Novamente, as derivadas laterais são diferentes ( ), então a derivada não existe em .

Resposta

Sim, a função não é derivável nos pontos e porque, nesses pontos, as derivadas laterais são diferentes, criando “quebras” no gráfico da função.

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