Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é derivável no ponto
. O conteúdo aqui é derivabilidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pelas direções esquerda e direita existem e são iguais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e ver se ambos são iguais ao valor da função em
.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
E como
, os limites laterais são iguais ao valor da função em
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda, ou seja, o limite da diferença quando
se aproxima de 0 pela esquerda.
Para
:
A derivada de
é:
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada pela direita, ou seja, o limite da diferença quando
se aproxima de 0 pela direita.
Para
:
A derivada de
é:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos comparar as derivadas pelas duas direções. Temos:
Como
, as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais.
Resposta
A função não é derivável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.