Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a) x = 0; f(x) = { x^2, se x <= 0; x, se x > 0 }

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é derivável no ponto . O conteúdo aqui é derivabilidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pelas direções esquerda e direita existem e são iguais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua em . Para isso, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e ver se ambos são iguais ao valor da função em .
Para :
Então,
Para :
Então,
E como , os limites laterais são iguais ao valor da função em . Portanto, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda, ou seja, o limite da diferença quando se aproxima de 0 pela esquerda.
Para :
A derivada de é:
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada pela direita, ou seja, o limite da diferença quando se aproxima de 0 pela direita.
Para :
A derivada de é:
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos comparar as derivadas pelas duas direções. Temos:
Como , as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais.

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

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