Verifique que a reta tangente ao gráfico da função
, no ponto de abscissa
, intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que mostrar que a reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
cruza o eixo
no ponto
.
Matéria envolvida: Calculando derivadas para encontrar a reta tangente e usando a equação da reta para encontrar onde ela corta o eixo
.
O que precisamos: Saber como calcular a derivada de
, usar a fórmula da reta tangente e resolver equações para achar o ponto de interseção com o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde
:
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 4
Vamos identificar o ponto de tangência na curva. Como
, o ponto é
.
Passo 5
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Distribuindo o sinal negativo:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, isolamos
para deixar a equação na forma
:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar onde a reta intercepta o eixo
, colocamos
e resolvemos para
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto de abscissa
intercepta o eixo
no ponto
.
Exercícios relacionados
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a)
(a)
Determine a equação da reta normal à curva
, com inclinação
.
Se
é a função definida por
, encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto de abscissa
.
Seja
a função definida em
por
.
© Esboce os gráficos de e de
.
© Esboce os gráficos de