Verifique que a reta tangente ao gráfico da função , no ponto de abscissa , intercepta o eixo no ponto .

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que mostrar que a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde cruza o eixo no ponto .
Matéria envolvida: Calculando derivadas para encontrar a reta tangente e usando a equação da reta para encontrar onde ela corta o eixo .
O que precisamos: Saber como calcular a derivada de , usar a fórmula da reta tangente e resolver equações para achar o ponto de interseção com o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde :
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 4

Vamos identificar o ponto de tangência na curva. Como , o ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Distribuindo o sinal negativo:
Rearranjando os termos:

Passo 7

Agora, isolamos para deixar a equação na forma :
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar onde a reta intercepta o eixo , colocamos e resolvemos para :

Passo 9

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto de abscissa intercepta o eixo no ponto .

Exercícios relacionados

Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(a)
Determine a equação da reta normal à curva , com inclinação .
Se é a função definida por , encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto de abscissa .
Seja a função definida em por .
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