Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no mesmo ponto
indicado.
Passo 1
Ok, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para determinarmos a equação da reta normal ao gráfico de uma função no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e retas tangentes e normais. Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecer a função em questão.
- Encontrar a derivada dessa função no ponto
para obter a inclinação da reta tangente. - Calcular a inclinação da reta normal, que é perpendicular à reta tangente.
- Usar a fórmula da reta para encontrar a equação da reta normal no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto
no gráfico da função. Supondo que a função seja
, a coordenada
correspondente a
é
. Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
no ponto
, ou seja,
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
. Se você não lembra como derivar, lembre-se que a derivada de
é
, e aplicamos regras semelhantes para outras funções.
Passo 4
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que a inclinação da reta normal, que vamos chamar de
, é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Matemáticamente, isso é:
Essa relação garante que as duas retas sejam perpendiculares, já que o produto das suas inclinações é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta normal conhecida (
) e o ponto pelo qual ela passa (
), podemos usar a fórmula ponto-inclinação para escrever a equação da reta normal. A fórmula geral é:
Substituindo pelos valores que temos:
Passo 6
Finalmente, podemos simplificar essa equação para a forma desejada, seja ela a forma explícita (
) ou qualquer outra que for solicitada. Basta resolver a equação para
ou manipular conforme necessário.
Resposta
A equação da reta normal ao gráfico da função no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Derive.
.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada: