Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no mesmo ponto a indicado.

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para determinarmos a equação da reta normal ao gráfico de uma função no ponto a. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e retas tangentes e normais. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer a função em questão.
  • Encontrar a derivada dessa função no ponto a para obter a inclinação da reta tangente.
  • Calcular a inclinação da reta normal, que é perpendicular à reta tangente.
  • Usar a fórmula da reta para encontrar a equação da reta normal no ponto a.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto a no gráfico da função. Supondo que a função seja f(x), a coordenada y correspondente a a é f(a). Então, o ponto de tangência é (a, f(a)).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) no ponto a, ou seja, . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto a. Se você não lembra como derivar, lembre-se que a derivada de é , e aplicamos regras semelhantes para outras funções.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que a inclinação da reta normal, que vamos chamar de , é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Matemáticamente, isso é:
Essa relação garante que as duas retas sejam perpendiculares, já que o produto das suas inclinações é -1.

Passo 5

Com a inclinação da reta normal conhecida ( ) e o ponto pelo qual ela passa ( (a, f(a))), podemos usar a fórmula ponto-inclinação para escrever a equação da reta normal. A fórmula geral é:
Substituindo pelos valores que temos:

Passo 6

Finalmente, podemos simplificar essa equação para a forma desejada, seja ela a forma explícita ( ) ou qualquer outra que for solicitada. Basta resolver a equação para y ou manipular conforme necessário.

Resposta

A equação da reta normal ao gráfico da função no ponto a é:

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