Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) paralela(s) à reta r dada:
f(x)=4x^2-5 r: y=4x+3

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função que seja paralela à reta . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas (para encontrar a inclinação das tangentes) e condições de paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . A equação está na forma , onde é a inclinação. Aqui, . Queremos que a tangente ao gráfico de tenha a mesma inclinação, ou seja, 4.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da tangente à função , usamos a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Derivando em relação a :

Passo 4

Queremos que a inclinação da tangente seja 4, então igualamos a derivada a 4:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que encontramos , vamos encontrar o ponto na função onde essa tangente toca o gráfico. Substituímos na função :



Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:



Resposta

A reta tangente ao gráfico de paralela à reta é .

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