Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) paralela(s) à reta r dada:
f(x) = x^4 - 6 x^2 + x r: 7x + y - 4 = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função e que são paralelas à reta . Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar as retas tangentes e garantir que elas tenham a mesma inclinação da reta .

Passo 2

Vamos começar determinando a inclinação da reta . A equação da reta é . Para achar a inclinação, vamos colocar essa equação na forma , onde é a inclinação.
Portanto, a inclinação da reta é -7.

Passo 3

Queremos que as retas tangentes ao gráfico de sejam paralelas à reta . Retas paralelas têm a mesma inclinação, então as retas tangentes também precisam ter inclinação -7.

Passo 4

Para encontrar a inclinação das retas tangentes ao gráfico de , precisamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto .

Passo 5

Como queremos que a inclinação da tangente seja -7, vamos igualar a derivada a -7:
Resolvendo a equação:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica para encontrar os valores de onde a inclinação da tangente é -7. Vamos fatorar a equação:
Agora, resolvemos . Testando possíveis raízes, encontramos que e são soluções.

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os pontos correspondentes no gráfico de .
Para :
Portanto, o ponto é .
Para :
Portanto, o ponto é .

Passo 8

Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes que passam por esses pontos e têm inclinação -7. A forma da equação da reta é:
Para :
Para :

Resposta

As retas tangentes ao gráfico de paralelas à reta são:
e

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