Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as retas que são tangentes ao gráfico da função
e que são paralelas à reta
. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar as retas tangentes e garantir que elas tenham a mesma inclinação da reta
.
Passo 2
Vamos começar determinando a inclinação da reta
. A equação da reta é
. Para achar a inclinação, vamos colocar essa equação na forma
, onde
é a inclinação.
Portanto, a inclinação
da reta
é -7.
Passo 3
Queremos que as retas tangentes ao gráfico de
sejam paralelas à reta
. Retas paralelas têm a mesma inclinação, então as retas tangentes também precisam ter inclinação -7.
Passo 4
Para encontrar a inclinação das retas tangentes ao gráfico de
, precisamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
.
Passo 5
Como queremos que a inclinação da tangente seja -7, vamos igualar a derivada a -7:
Resolvendo a equação:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica
para encontrar os valores de
onde a inclinação da tangente é -7. Vamos fatorar a equação:
Agora, resolvemos
. Testando possíveis raízes, encontramos que
e
são soluções.
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os pontos correspondentes no gráfico de
.
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Passo 8
Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes que passam por esses pontos e têm inclinação -7. A forma da equação da reta é:
Para
:
Para
:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico de
paralelas à reta
são:
e
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no mesmo ponto
indicado.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
Para cada equação determine
.
.