Estabeleça as equações simétricas da reta s, traçada pelo ponto P=(1,3,1), que seja concorrente com a reta r: x+13=y-22=z e seja ortogonal ao vetor v=(2,0,-1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto , que intercepta a reta e que é ortogonal ao vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço, como equações de retas, condições de interseção entre retas e ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta r: x = -1 + 3lambda y = 2 + 2lambda z = lambda . A equação dada é . Podemos reescrever isso na forma paramétrica para identificar um ponto e um vetor diretor.
Seja o parâmetro, podemos expressar da seguinte maneira:
Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como e o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, queremos que a reta Q = (-1 + 3lambda, 2 + 2lambda, lambda) passe pelo ponto Q = (1 + alpha a, 3 + alpha b, 1 + alpha c) e que intercepte a reta -1 + 3lambda = 1 + alpha a 2 + 2lambda = 3 + alpha b lambda = 1 + alpha c . Isso significa que existe um ponto comum a ambas as retas, vamos chamar de .
As coordenadas de devem satisfazer as equações de ambas as retas. Então, temos:
Para a reta :
Para a reta , que passa por e tem vetor diretor :
onde é o parâmetro para a reta .
Igualando as coordenadas de das duas retas:

Passo 4

Além disso, a reta d cdot v = 0 2a + 0b - c = 0 2a - c = 0 c = 2a deve ser ortogonal ao vetor . Isso significa que o vetor diretor deve satisfazer a condição de ortogonalidade:

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido:
  1. lambda = 1 + alpha (2a) = 1 + 2alpha a
  2. -1 + 3lambda = 1 + alpha a alpha a = -2 + 3lambda
  3. 2 + 2lambda = 3 + alpha b alpha b = -1 + 2lambda
  4. c = 2a = 4
Substituindo 2alpha = -2 + 3lambda alpha = -2 + 3lambda2 na terceira equação:
-2 + 3lambda2 cdot b = -1 + 2lambda b = 2(-1 + 2lambda)-2 + 3lambda
Resolvendo a primeira equação para alpha = -2 + 3(2)2 = 42 = 2 b = 2(-1 + 4)-2 + 6 = 64 = 32 :
E a segunda equação:
Vamos assumir para simplificar (poderíamos escolher outro valor, desde que satisfaça as condições). Então:
A partir de :
Substituindo na segunda equação:
Para simplificar, podemos escolher (qualquer valor que não anule o denominador), então:
Então, temos . Para evitar frações, podemos multiplicar todos os componentes por 2: .

Resposta

As equações simétricas da reta s: x - 12 = y - 31 = z - 14 são:

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