Estabeleça as equações simétricas da reta , traçada pelo ponto , que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto , que intercepta a reta e que é ortogonal ao vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço, como equações de retas, condições de interseção entre retas e ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . A equação dada é . Podemos reescrever isso na forma paramétrica para identificar um ponto e um vetor diretor.
Seja o parâmetro, podemos expressar da seguinte maneira:
Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como e o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos que a reta passe pelo ponto e que intercepte a reta . Isso significa que existe um ponto comum a ambas as retas, vamos chamar de .
As coordenadas de devem satisfazer as equações de ambas as retas. Então, temos:
Para a reta :
Para a reta , que passa por e tem vetor diretor :
onde é o parâmetro para a reta .
Igualando as coordenadas de das duas retas:
Passo 4
Além disso, a reta deve ser ortogonal ao vetor . Isso significa que o vetor diretor deve satisfazer a condição de ortogonalidade:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido:
Substituindo na terceira equação:
Resolvendo a primeira equação para :
E a segunda equação:
Vamos assumir para simplificar (poderíamos escolher outro valor, desde que satisfaça as condições). Então:
A partir de :
Substituindo na segunda equação:
Para simplificar, podemos escolher (qualquer valor que não anule o denominador), então:
Então, temos . Para evitar frações, podemos multiplicar todos os componentes por 2: .