Estabeleça as equações simétricas da reta , traçada pelo ponto , que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto , que intercepta a reta e que é ortogonal ao vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica no espaço, como equações de retas, condições de interseção entre retas e ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . A equação dada é . Podemos reescrever isso na forma paramétrica para identificar um ponto e um vetor diretor.
Seja o parâmetro, podemos expressar da seguinte maneira:
Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como e o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos que a reta Q = (-1 + 3lambda, 2 + 2lambda, lambda) passe pelo ponto Q = (1 + alpha a, 3 + alpha b, 1 + alpha c) e que intercepte a reta -1 + 3lambda = 1 + alpha a 2 + 2lambda = 3 + alpha b lambda = 1 + alpha c . Isso significa que existe um ponto comum a ambas as retas, vamos chamar de .
As coordenadas de devem satisfazer as equações de ambas as retas. Então, temos:
Para a reta :
Para a reta , que passa por e tem vetor diretor :
onde é o parâmetro para a reta .
Igualando as coordenadas de das duas retas:
Passo 4
Além disso, a reta d cdot v = 0 2a + 0b - c = 0 2a - c = 0 c = 2a deve ser ortogonal ao vetor . Isso significa que o vetor diretor deve satisfazer a condição de ortogonalidade:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido: