Determine as equações da reta r definida pelos pontos A=(2,-1,4) e B=r1 cap r2, com r1: x-12=y-34=1-z2 e r2:lx=0+3 t y=1+2 t z=2+t, t in R.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa determinar as equações da reta que passa pelos pontos e , onde é o ponto de interseção das retas e . Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente com equações paramétricas e sistema de equações para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de x - 12 = y - 34 = 1 - z2 , que está na interseção das retas x = 3t y = 1 + 2t z = 2 + t e . As equações de estão dadas na forma simétrica:
E as de estão nas paramétricas:
Para encontrar , vamos igualar as coordenadas de e .

Passo 3

Vamos expressar as equações de x = 1 + 2lambda y = 3 + 4lambda z = 1 - 2lambda em termos de um parâmetro. Seja 1 + 2lambda = 3t 3 + 4lambda = 1 + 2t 1 - 2lambda = 2 + t o parâmetro de :
Agora, igualamos as coordenadas de e :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
1 + 2lambda = 3t Rightarrow t = 1 + 2lambda3
Substituindo 3 + 4lambda = 1 + 2(1 + 2lambda3) na segunda equação:
9 + 12lambda = 3 + 2 + 4lambda Rightarrow 9 + 12lambda = 5 + 4lambda
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
8lambda = -4 Rightarrow lambda = -12
Subtraindo e 5 de ambos os lados:

Passo 5

Agora que encontramos t = 1 + 2(-12)3 = 1 -13 = 0 , vamos encontrar x = 0 y = 1 + 2(0) = 1 z = 2 + 0 = 2 :
Com , as coordenadas de são:
Então, o ponto é .

Passo 6

Agora que temos os dois pontos AB = B - A = (0 - 2, 1 - (-1), 2 - 4) = (-2, 2, -2) e AB = (1, -1, 1) , podemos determinar as equações paramétricas da reta . A direção da reta é dada pela diferença entre e :
Podemos simplificar o vetor direcional dividindo por -2:

Passo 7

Assim, as equações paramétricas da reta x = 2 + t y = -1 - t z = 4 + t , t in R são:

Resposta

As equações da reta x = 2 + t y = -1 - t z = 4 + t , t in R são:

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