Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0,0,0) e é paralela ao plano definido pelas equações x+2 y-z=3 e 2 x-y+z=4.**

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e é paralela ao plano definido pelas equações e . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores normais aos planos e como encontrar uma direção que seja paralela a ambos os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano dado pela equação é .
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a direção da reta que é paralela a ambos os planos. Uma reta paralela a dois planos deve ter um vetor diretor que seja perpendicular aos vetores normais desses planos. Para encontrar esse vetor, podemos calcular o produto vetorial entre d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 e .
O produto vetorial é dado por:
Calculando determinantes:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, .

Passo 4

Com o vetor diretor x = 0 + t cdot 1 = t y = 0 + t cdot (-3) = -3t z = 0 + t cdot (-5) = -5t e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta.
As equações paramétricas são:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta é dada por:
x = t y = -3t z = -5t
onde é um número real.

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