Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício de identificar a quádricas dada pela equação
e fazer um esboço destacando elementos como interseções com os eixos, centros, vértices, etc. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar reformular a equação para identificar que tipo de quádricas estamos lidando e então encontrar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar mais claro o tipo de quádricas que temos. A equação dada é:
Vamos isolar
:
Isso nos mostra que
está em função de
, o que indica que estamos lidando com uma parábola no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo exato de parábola. A presença de
sugere que a parábola está orientada ao longo do eixo
. A forma geral de uma parábola orientada ao longo do eixo
é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
. Isso significa que nossa parábola abre para a direção positiva do eixo
e está deslocada
unidades para trás no eixo
.
Passo 4
Vamos agora encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo
, definimos
e
:
Assim, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseção com os eixos
e
:
Para interseção com o eixo
, definimos
e
:
Isso é impossível, então não há interseção com o eixo
.
Para interseção com o eixo
, definimos
e
:
Portanto, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 5
Vamos identificar o vértice da parábola. Na equação
, o termo constante
indica que o vértice está no ponto onde
. Substituindo
:
Assim, o vértice da parábola é
.
Passo 6
Agora, vamos esboçar a parábola destacando seus elementos:
- Vértice:
- Abertura: Para a direção positiva do eixo
- Interseções com o eixo
: e - Sem interseção com o eixo
No esboço, desenhe o eixo
horizontal, o eixo
vertical e o eixo
saindo perpendicularmente. A parábola estará no plano
, com o vértice em
e abrindo para a direita.
Resposta
A quádricas
representa uma parábola no espaço tridimensional orientada ao longo do eixo
, com vértice em
, interseções com o eixo
nos pontos
e
, e sem interseção com o eixo
. O esboço destaca esses elementos principais.