Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
2 z^2-4 x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício de identificar a quádricas dada pela equação e fazer um esboço destacando elementos como interseções com os eixos, centros, vértices, etc. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar reformular a equação para identificar que tipo de quádricas estamos lidando e então encontrar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar mais claro o tipo de quádricas que temos. A equação dada é:
2 z^2 - 4 x = 1
Vamos isolar -4x = -2 z^2 + 1 x = 2 z^2 - 14 x = 12 z^2 - 14 :
Isso nos mostra que está em função de , o que indica que estamos lidando com uma parábola no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo exato de parábola. A presença de x = a z^2 + b sugere que a parábola está orientada ao longo do eixo x = 12 z^2 - 14 . A forma geral de uma parábola orientada ao longo do eixo é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que e . Isso significa que nossa parábola abre para a direção positiva do eixo e está deslocada unidades para trás no eixo .

Passo 4

Vamos agora encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo x = 12(0)^2 - 14 = -14 :
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo 0 = 12(0)^2 - 14 0 = -14 , definimos 0 = 12 z^2 - 14 12 z^2 = 14 z^2 = 12 z = pm raiz22 e :
Assim, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com os eixos e :
Para interseção com o eixo , definimos e :
Isso é impossível, então não há interseção com o eixo .
Para interseção com o eixo , definimos e :
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 5

Vamos identificar o vértice da parábola. Na equação x = 12(0)^2 - 14 = -14 , o termo constante indica que o vértice está no ponto onde . Substituindo :
Assim, o vértice da parábola é .

Passo 6

Agora, vamos esboçar a parábola destacando seus elementos:
  1. Vértice:
  2. Abertura: Para a direção positiva do eixo
  3. Interseções com o eixo : e
  4. Sem interseção com o eixo
No esboço, desenhe o eixo horizontal, o eixo vertical e o eixo saindo perpendicularmente. A parábola estará no plano , com o vértice em e abrindo para a direita.

Resposta

A quádricas representa uma parábola no espaço tridimensional orientada ao longo do eixo , com vértice em , interseções com o eixo nos pontos e , e sem interseção com o eixo . O esboço destaca esses elementos principais.

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