De modo geral, a operação de multiplicação de matrizes é não comutativa.
© Determine duas matrizes C e D, de modo que se tenha C D neq D C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, para duas matrizes e , geralmente . Nosso objetivo aqui é encontrar duas matrizes específicas e que confirmem essa propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e verificar a ordem das multiplicações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos uma matriz de tamanho e uma matriz de tamanho , o produto será uma matriz de tamanho . Cada elemento de é obtido multiplicando as linhas de pelas colunas de .

Passo 3

Agora, para mostrar que C = 1 & 2 0 & 1 e D = 1 & 0 0 & 1 , vamos escolher duas matrizes simples. Vamos usar matrizes para facilitar os cálculos. Vamos definir:

Passo 4

Vamos calcular CD = 1 & 2 0 & 1 1 & 0 0 & 1 = 1 times 1 + 2 times 0 & 1 times 0 + 2 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 0 + 1 times 1 = 1 & 2 0 & 1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular DC = 1 & 0 0 & 1 1 & 2 0 & 1 = 1 times 1 + 0 times 0 & 1 times 2 + 0 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 2 + 1 times 1 = 1 & 2 0 & 1 :

Passo 6

Hmm, parece que C = 0 & 1 1 & 0 e D = 1 & 2 3 & 4 nesse caso. Então, vamos escolher outras matrizes para ilustrar a não comutatividade. Vamos tentar com:

Passo 7

Calculando CD = 0 & 1 1 & 0 1 & 2 3 & 4 = 0 times 1 + 1 times 3 & 0 times 2 + 1 times 4 1 times 1 + 0 times 3 & 1 times 2 + 0 times 4 = 3 & 4 1 & 2 :

Passo 8

Agora, calculando DC = 1 & 2 3 & 4 0 & 1 1 & 0 = 1 times 0 + 2 times 1 & 1 times 1 + 2 times 0 3 times 0 + 4 times 1 & 3 times 1 + 4 times 0 = 2 & 1 4 & 3 :

Resposta

Pronto! Vimos que:
CD = 3 & 4 1 & 2 neq DC = 2 & 1 4 & 3
Portanto, as matrizes e escolhidas satisfazem , confirmando que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

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