Determine a equação da reta s que é perpendicular à reta r e passa por P0, nos casos: P0=(3,-1), r: 3x+2y=6;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar a equação da reta que é perpendicular à reta e passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inclinação das retas e usar a relação de perpendicularidade entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . A equação dada é . Para achar a inclinação, precisamos colocar essa equação na forma de , onde é a inclinação.

Passo 3

Vamos isolar o 3x + 2y = 6 implies 2y = -3x + 6 implies y = -32x + 3 na equação de :
Então, a inclinação da reta é .

Passo 4

Agora, como queremos uma reta mr times ms = -1 implies -32 times ms = -1 implies ms = 23 perpendicular a , precisamos da inclinação da reta . Sabemos que se duas retas são perpendiculares, suas inclinações multiplicadas são :
Então, a inclinação da reta é .

Passo 5

Com a inclinação da reta y - y0 = ms (x - x0) e sabendo que ela passa pelo ponto , vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
y - (-1) = 23(x - 3) implies y + 1 = 23x - 2
Agora, vamos deixar a equação na forma padrão .

Passo 7

Subtraindo 1 de ambos os lados:
y = 23x - 3
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
3y = 2x - 9 implies 2x - 3y = 9

Resposta

A equação da reta é .

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