Sejam as bases E=(1,1,1),(1,2,0),(1,1,0) e F=(2,1,-1),(3,0,1),(2,0,1). Se x=(m, 2,1)E, u=(1,1,1)F e v=(2,-1,1)F, determine m de modo que x, u, v não seja base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá duas bases no espaço tridimensional e alguns vetores expressos nessas bases. A gente precisa encontrar o valor de tal que o conjunto não seja uma base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada base e como expressar os vetores e1 = (1,1,1), e2 = (1,2,0), e3 = (1,1,0) , f1 = (2,1,-1), f2 = (3,0,1), f3 = (2,0,1) e x = me1 + 2e2 + 1e3 na base padrão do espaço ( x = m(1,1,1) + 2(1,2,0) + 1(1,1,0) = (m + 2 + 1, m + 4 + 1, m + 0 + 0) = (m+3, m+5, m) ).
A base u = 1f1 + 1f2 + 1f3 = (2+3+2, 1+0+0, -1+1+1) = (7, 1, 1) é formada pelos vetores:
v = 2f1 -1f2 +1f3 = 2(2,1,-1) -1(3,0,1) +1(2,0,1) = (4-3+2, 2+0+0, -2-1+1) = (3, 2, -2)
E a base é formada por:
O vetor está na base e é dado por . Isso significa:
Vamos calcular na base padrão:
Agora, os vetores e estão na base :

Passo 3

Agora temos os três vetores na base padrão:
x = (m+3, m+5, m), u = (7, 1, 1), v = (3, 2, -2)
Para que A = m+3 & 7 & 3 m+5 & 1 & 2 m & 1 & -2 não seja uma base, os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso acontece quando o determinante da matriz formada por esses vetores é zero.
Vamos montar a matriz:

Passo 4

Calcular o determinante da matriz det(A) = (m+3)1 & 2 1 & -2 - 7m+5 & 2 m & -2 + 3m+5 & 1 m & 1 :
1 & 2 1 & -2 = (1)(-2) - (2)(1) = -2 - 2 = -4
Calculando cada determinante menor:
m+5 & 2 m & -2 = (m+5)(-2) - (2)(m) = -2m -10 -2m = -4m -10
m+5 & 1 m & 1 = (m+5)(1) - (1)(m) = m +5 - m = 5
det(A) = (m+3)(-4) - 7(-4m -10) + 3(5) = -4m -12 +28m +70 +15
Substituindo de volta:
det(A) = (-4m +28m) + (-12 +70 +15) = 24m +73

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
24m +73 = 0
Resolvendo para 24m = -73 implies m = -7324 :

Resposta

O valor de é para que não seja uma base.

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