Sejam as bases e . Se , e , determine de modo que não seja base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá duas bases no espaço tridimensional e alguns vetores expressos nessas bases. A gente precisa encontrar o valor de tal que o conjunto não seja uma base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada base e como expressar os vetores , e na base padrão do espaço ( ).
A base é formada pelos vetores:
E a base é formada por:
O vetor está na base e é dado por . Isso significa:
Vamos calcular na base padrão:
Agora, os vetores e estão na base :

Passo 3

Agora temos os três vetores na base padrão:
Para que não seja uma base, os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso acontece quando o determinante da matriz formada por esses vetores é zero.
Vamos montar a matriz:

Passo 4

Calcular o determinante da matriz :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de é para que não seja uma base.

Exercícios relacionados

Suponha que é uma matriz quadrada de ordem 4 , tal que e calcule:
(a)
(b)
©
(d) .
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e passa por , nos casos: ;
Encontre as coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são .
Sejam um espaço vetorial sobre o corpo um operador linear sobre e um autovalor de . Mostre que o subconjunto definido por:
é um subespaço vetorial de .