Sejam as bases e . Se , e , determine de modo que não seja base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá duas bases no espaço tridimensional e alguns vetores expressos nessas bases. A gente precisa encontrar o valor de tal que o conjunto não seja uma base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada base e como expressar os vetores , e na base padrão do espaço ().
A base é formada pelos vetores:
E a base é formada por:
O vetor está na base e é dado por . Isso significa:
Vamos calcular na base padrão:
Agora, os vetores e estão na base :
Passo 3
Agora temos os três vetores na base padrão:
Para que não seja uma base, os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso acontece quando o determinante da matriz formada por esses vetores é zero.
Vamos montar a matriz:
Passo 4
Calcular o determinante da matriz :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero: