Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, 4 linhas e 4 colunas, chamada , e o determinante de é . Vamos calcular quatro determinantes diferentes baseados nessa matriz. Para isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes, como o efeito de multiplicar uma matriz por um escalar e como o determinante se comporta com matrizes inversas.
Passo 2
(a) Calculando
Primeiro, quando a gente multiplica uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado pelo número elevado à ordem da matriz. Aqui, a matriz é de ordem 4.
Passo 3
(b) Calculando
Para essa parte, precisamos lembrar que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja:
Agora, multiplicamos a matriz inversa por 2. Usando a mesma propriedade do passo anterior:
Perceba que a matriz é obtida a partir de com algumas operações de multiplicação por escalar e rearranjo de linhas. Vamos analisar cada linha:
A primeira linha de é vezes a quarta coluna de .
A segunda linha de é vezes a segunda coluna de .
A terceira linha de é vezes a terceira coluna de .
A quarta linha de é vezes a primeira coluna de .
Cada multiplicação por escalar afeta o determinante. Além disso, rearranjar as colunas equivale a uma permutação que pode mudar o sinal do determinante dependendo da paridade da permutação.