Suponha que A=[ai j] é uma matriz quadrada de ordem 4 , tal que det A=-7 e calcule:
(a) det(3 A)
(b) det(2 A^-1)
© det(2 A)^-1
(d) |rrrr2 a14 & a34 & a44 & a24 -2 a12 & -a32 & -a42 & -a22 2 a13 & a33 & a43 & a23 2 a11 & a31 & a41 & a21|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, 4 linhas e 4 colunas, chamada , e o determinante de é . Vamos calcular quatro determinantes diferentes baseados nessa matriz. Para isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes, como o efeito de multiplicar uma matriz por um escalar e como o determinante se comporta com matrizes inversas.

Passo 2

(a) Calculando det(3A) = 3^4 cdot det(A) = 81 cdot (-7) = -567
Primeiro, quando a gente multiplica uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado pelo número elevado à ordem da matriz. Aqui, a matriz é de ordem 4.

Passo 3

(b) Calculando det(A^-1) = 1det(A) = 1-7 = -17
Para essa parte, precisamos lembrar que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja:
det(2A^-1) = 2^4 cdot det(A^-1) = 16 cdot (-17) = -167
Agora, multiplicamos a matriz inversa por 2. Usando a mesma propriedade do passo anterior:

Passo 4

© Calculando det(2A) = 2^4 cdot det(A) = 16 cdot (-7) = -112
Primeiro, calculamos det(2A)^-1 = 1det(2A) = 1-112 = -1112 :
Agora, o determinante inverso:

Passo 5

(d) Calculando o determinante da matriz dada
Dada a matriz:
B = 2 a14 & a34 & a44 & a24 -2 a12 & -a32 & -a42 & -a22 2 a13 & a33 & a43 & a23 2 a11 & a31 & a41 & a21
Perceba que a matriz det(B) = 2 cdot (-2) cdot 2 cdot 2 cdot det(A) = (2 times -2 times 2 times 2) cdot (-7) = (-16) cdot (-7) = 112 é obtida a partir de com algumas operações de multiplicação por escalar e rearranjo de linhas. Vamos analisar cada linha:
  • A primeira linha de é vezes a quarta coluna de .
  • A segunda linha de é vezes a segunda coluna de .
  • A terceira linha de é vezes a terceira coluna de .
  • A quarta linha de é vezes a primeira coluna de .
Cada multiplicação por escalar afeta o determinante. Além disso, rearranjar as colunas equivale a uma permutação que pode mudar o sinal do determinante dependendo da paridade da permutação.
Calculando o determinante:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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