Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, 4 linhas e 4 colunas, chamada , e o determinante de é . Vamos calcular quatro determinantes diferentes baseados nessa matriz. Para isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes, como o efeito de multiplicar uma matriz por um escalar e como o determinante se comporta com matrizes inversas.
Primeiro, quando a gente multiplica uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado pelo número elevado à ordem da matriz. Aqui, a matriz é de ordem 4.
Passo 3
(b) Calculando det(A^-1) = 1det(A) = 1-7 = -17
Para essa parte, precisamos lembrar que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja:
Perceba que a matriz det(B) = 2 cdot (-2) cdot 2 cdot 2 cdot det(A) = (2 times -2 times 2 times 2) cdot (-7) = (-16) cdot (-7) = 112 é obtida a partir de com algumas operações de multiplicação por escalar e rearranjo de linhas. Vamos analisar cada linha:
A primeira linha de é vezes a quarta coluna de .
A segunda linha de é vezes a segunda coluna de .
A terceira linha de é vezes a terceira coluna de .
A quarta linha de é vezes a primeira coluna de .
Cada multiplicação por escalar afeta o determinante. Além disso, rearranjar as colunas equivale a uma permutação que pode mudar o sinal do determinante dependendo da paridade da permutação.