Determine a equação de uma reta r que forma um ângulo de 45^circ com a reta s: 2 x+y=-4 e que passa pelo ponto P=(-1,-2).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo necessário para resolvê-la. Precisamos encontrar a equação de uma reta que forma um ângulo de com a reta e que passa pelo ponto . Para resolver, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a inclinação (coeficiente angular) das retas e a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o coeficiente angular da reta 2x + y = -4 implies y = -2x - 4 . A equação da reta está na forma padrão . Para encontrar a inclinação, precisamos reescrever essa equação na forma , onde é o coeficiente angular.
Assim, o coeficiente angular da reta é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o coeficiente angular tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 | da reta tan(45^circ) = 1 = | mr - (-2)1 + (-2)mr | implies 1 = | mr + 21 - 2mr | que forma um ângulo de mr + 2 = 1 - 2mr implies 3mr = -1 implies mr = -13 com a reta mr + 2 = -1 + 2mr implies mr = 3 . A fórmula para o ângulo entre duas retas com coeficientes angulares e é:
Substituindo e , temos:
Isso nos leva a duas equações:
Resolvendo a primeira:
Resolvendo a segunda:
Então, os coeficientes angulares possíveis para a reta são e .

Passo 4

Com os coeficientes angulares encontrados, vamos agora determinar as equações das retas y - (-2) = -13(x - (-1)) implies y + 2 = -13(x + 1) que passam pelo ponto y = -13x - 13 - 2 implies y = -13x - 73 . Usamos a forma da equação da reta y - (-2) = 3(x - (-1)) implies y + 2 = 3(x + 1) , onde y = 3x + 3 - 2 implies y = 3x + 1 é o ponto dado.
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas y = -13x - 73 são:
y = 3x + 1
e

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