Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. A pergunta nos dá duas retas no espaço e pede para a gente discutir a posição relativa entre elas, ou seja, se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam em um ponto. E se elas se cruzarem, precisamos encontrar esse ponto de interseção. Para isso, vamos precisar trabalhar com equações paramétricas de retas e entender como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma que seja mais fácil de comparar. As retas estão dadas em uma forma chamada simétrica, mas vamos transformá-las em equações paramétricas.
Para a reta :
Vamos chamar esse valor comum de . Então:
Então, a equação paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta x - 32 = 1 - y = z - 32 :
x - 32 = s implies x = 2s + 3
Vamos chamar esse valor comum de 1 - y = s implies y = 1 - s . Então:
z - 32 = s implies z = 2s + 3
x = 2s + 3 y = 1 - s z = 2s + 3
Então, a equação paramétrica da reta é:
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção das duas retas, precisamos que as coordenadas 2 - t = 2s + 3 3t - 1 = 1 - s 2t - 1 = 2s + 3 , e de e sejam iguais para alguns valores de e . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
2 - t = 2s + 3 implies -t - 2s = 1 implies t + 2s = -1 (1)
Da segunda equação:
3t - 1 = 1 - s implies 3t + s = 2 (2)
E da terceira equação:
2t - 1 = 2s + 3 implies 2t - 2s = 4 implies t - s = 2 (3)
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
t + 2s = -1 (1) 3t + s = 2 (2) t - s = 2 (3)
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar a equação (3) para expressar t = s + 2 em função de 3(s + 2) + s = 2 implies 3s + 6 + s = 2 implies 4s = -4 implies s = -1 :
t = -1 + 2 = 1
Agora, substituímos na equação (2):
Com , substituímos na equação (3):
Passo 7
Agora que temos x = 2 - t = 2 - 1 = 1 y = 3t - 1 = 3(1) - 1 = 2 z = 2t - 1 = 2(1) - 1 = 1 e , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção usando a equação paramétrica de :