Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes. e .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. A pergunta nos dá duas retas no espaço e pede para a gente discutir a posição relativa entre elas, ou seja, se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam em um ponto. E se elas se cruzarem, precisamos encontrar esse ponto de interseção. Para isso, vamos precisar trabalhar com equações paramétricas de retas e entender como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma que seja mais fácil de comparar. As retas estão dadas em uma forma chamada simétrica, mas vamos transformá-las em equações paramétricas.
Para a reta :
Vamos chamar esse valor comum de . Então:
Então, a equação paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta :
Vamos chamar esse valor comum de . Então:
Então, a equação paramétrica da reta é:
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção das duas retas, precisamos que as coordenadas , e de e sejam iguais para alguns valores de e . Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
E da terceira equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar a equação (3) para expressar em função de :
Agora, substituímos na equação (2):
Com , substituímos na equação (3):
Passo 7
Agora que temos e , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção usando a equação paramétrica de :