Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,-2) e é paralela aos planos alpha: 2 x-y+2=0 e beta: x+z-3=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela aos planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente sobre retas e planos paralelos.

Passo 2

Quando uma reta é paralela a dois planos, ela deve ser paralela a qualquer linha de interseção desses planos. Para achar a direção da reta , precisamos encontrar a direção da linha de interseção dos planos e .
Primeiro, encontramos os vetores normais dos planos:
  • Vetor normal de :
  • Vetor normal de :

Passo 3

A direção da interseção dos planos é dada pelo produto vetorial dos vetores normais:
d = nalpha times nbeta = i & j & k 2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 = i(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(2 cdot 0 - (-1) cdot 1)
d = (-1)i - (2)j + (1)k = (-1, -2, 1)

Passo 4

Agora que temos a direção da reta x = 1 - t y = 0 - 2t z = -2 + t e um ponto por onde ela passa, podemos escrever a equação paramétrica da reta:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta x = 1 - t y = -2t z = -2 + t é dada por:

Exercícios relacionados