Obtenha uma equação vetorial da reta r a partir de suas equações planares.
(a) lx+2 y+3 z-1=0 x-y+2 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações de planos aqui:
x + 2y + 3z - 1 = 0 x - y + 2z = 0
Nosso objetivo é encontrar uma equação vetorial da reta que é a interseção desses dois planos. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar um ponto que está na reta . Isso significa que esse ponto satisfaz as duas equações dos planos ao mesmo tempo. Vamos resolver o sistema de equações para encontrar as coordenadas desse ponto.

Passo 3

Vamos simplificar o sistema. Da segunda equação:
x - y + 2z = 0 implies x = y - 2z
Agora, substituímos (y - 2z) + 2y + 3z - 1 = 0 y - 2z + 2y + 3z - 1 = 0 3y + z - 1 = 0 implies z = 1 - 3y na primeira equação:

Passo 4

Agora que temos z = 1 - 3t em função de x = t - 2(1 - 3t) = t - 2 + 6t = 7t - 2 , podemos escolher um valor para para determinar um ponto específico. Vamos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
E de :

Passo 5

Agora, temos as coordenadas x = 7t - 2 y = t z = 1 - 3t em função do parâmetro :
Isso representa a equação vetorial da reta .

Resposta

A equação vetorial da reta r(t) = -2 0 1 + t 7 1 -3 , t in R é:

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