Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se as retas e se cruzam em algum ponto, ou seja, se elas são concorrentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares para encontrar possíveis pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . Ela está representada de forma paramétrica:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor. Podemos escrever as equações paramétricas de da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta . Ela está definida pelas duas equações de planos:
Como é a interseção desses dois planos, podemos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas de .
Passo 4
Vamos resolver o sistema para . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação.
Primeiro, da segunda equação:
Agora substituímos na primeira equação:
Agora, sabemos que e .
Então, podemos parametrizar , onde é o parâmetro. Assim, as equações paramétricas de são:
Passo 5
Agora que temos as equações paramétricas de ambas as retas, vamos verificar se existe um valor de e que satisfaça todas as três equações de , e simultaneamente. Isso significa que vamos igualar as coordenadas de e e resolver o sistema:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Agora igualamos as duas expressões para :
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :
Passo 7
Vamos verificar se esses valores de e satisfazem a segunda equação do sistema:
Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que as retas se cruzam no ponto correspondente a e .
Resposta
As retas são concorrentes e se intersectam no ponto .