Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se as retas e se cruzam em algum ponto, ou seja, se elas são concorrentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares para encontrar possíveis pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta . Ela está representada de forma paramétrica:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor. Podemos escrever as equações paramétricas de da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta 3x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 1 . Ela está definida pelas duas equações de planos:
Como é a interseção desses dois planos, podemos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas de .
Passo 4
Vamos resolver o sistema para x - y + 2z = 1 Rightarrow x = y - 2z + 1 . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação.
Primeiro, da segunda equação:
3(y - 2z + 1) + 2y + z = -2 3y - 6z + 3 + 2y + z = -2 5y - 5z + 3 = -2 5y - 5z = -5 y - z = -1 Rightarrow y = z - 1
Agora substituímos x = -s y = s - 1 z = s na primeira equação:
Agora, sabemos que e .
Então, podemos parametrizar , onde é o parâmetro. Assim, as equações paramétricas de são:
Passo 5
Agora que temos as equações paramétricas de ambas as retas, vamos verificar se existe um valor de 2 + 4t = -s -3 - t = s - 1 -2 + 3t = s e que satisfaça todas as três equações de , e simultaneamente. Isso significa que vamos igualar as coordenadas de e e resolver o sistema: