Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: r1:(x, y, z)=(2,-3,-2)+t(4,-1,3), t in R e r2:l3 x+2 y+z=-2 x-y+2 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se as retas e se cruzam em algum ponto, ou seja, se elas são concorrentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com equações paramétricas de retas e sistemas de equações lineares para encontrar possíveis pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta r1: (x, y, z) = (2, -3, -2) + t(4, -1, 3), t in R . Ela está representada de forma paramétrica:
x = 2 + 4t y = -3 - t z = -2 + 3t
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor. Podemos escrever as equações paramétricas de da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta 3x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 1 . Ela está definida pelas duas equações de planos:
Como é a interseção desses dois planos, podemos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas de .

Passo 4

Vamos resolver o sistema para x - y + 2z = 1 Rightarrow x = y - 2z + 1 . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação.
Primeiro, da segunda equação:
3(y - 2z + 1) + 2y + z = -2 3y - 6z + 3 + 2y + z = -2 5y - 5z + 3 = -2 5y - 5z = -5 y - z = -1 Rightarrow y = z - 1
Agora substituímos x = -s y = s - 1 z = s na primeira equação:
Agora, sabemos que e .
Então, podemos parametrizar , onde é o parâmetro. Assim, as equações paramétricas de são:

Passo 5

Agora que temos as equações paramétricas de ambas as retas, vamos verificar se existe um valor de 2 + 4t = -s -3 - t = s - 1 -2 + 3t = s e que satisfaça todas as três equações de , e simultaneamente. Isso significa que vamos igualar as coordenadas de e e resolver o sistema:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: - (2 + 4t) = -2 + 3t -2 - 4t = -2 + 3t -4t - 3t = -2 + 2 -7t = 0 t = 0
  2. Da terceira equação: s = -2 + 3(0) = -2
Agora igualamos as duas expressões para :
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores de -3 - (0) = (-2) - 1 -3 = -3 e satisfazem a segunda equação do sistema:
Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que as retas se cruzam no ponto correspondente a e .

Resposta

As retas são concorrentes e se intersectam no ponto .

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