Estude as posições relativas do planos: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar as posições relativas de dois planos no espaço:
e
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos verificar se esses planos são paralelos, coincidentes ou se eles se interceptam formando uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano da forma é .
Então, para o plano :
E para o plano :

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores normais são múltiplos um do outro. Se forem, os planos são paralelos ou coincidentes. Para isso, vamos ver se existe um número real tal que:
Vamos comparar os componentes:
Como encontramos o mesmo valor de para todas as componentes, isso significa que os vetores normais são múltiplos entre si.

Passo 4

Como os vetores normais são proporcionais, os planos são paralelos ou coincidentes. Para determinar qual dos dois casos é, vamos verificar se existe algum ponto que satisfaz ambas as equações dos planos.
Podemos simplificar a equação do plano dividindo todos os termos por 4:
Observamos que a equação simplificada de é igual à equação de :

Resposta

Os planos e são coincidentes, ou seja, representam o mesmo plano no espaço.

Exercícios relacionados

Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .
Determine uma equação da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e .
Seja . Calcule sen nos casos (a) e (b), e nos casos © e (d):
(d)
Sabendo que e , calcule a matriz indicada (se possível).
(i)