Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e se encontram em algum ponto no espaço 3D. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo de retas no espaço. Para fazer isso, vamos precisar entender como as retas estão representadas e encontrar um ponto que satisfaça as duas equações das retas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada reta está representada. A reta está na forma simétrica:
Essa forma nos dá as direções dos vetores que definem a reta e um ponto por onde ela passa. Já a reta está na forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro que nos ajuda a encontrar qualquer ponto na reta .

Passo 3

Para facilitar a comparação, vamos transformar a reta também na forma paramétrica. A forma simétrica pode ser convertida para paramétrica escolhendo um parâmetro, por exemplo, vamos usar :
Assim, podemos expressar as coordenadas , e em termos de :
Agora, temos ambas as retas na forma paramétrica:

Passo 4

Para encontrar se as retas são concorrentes, precisamos ver se existe um par de parâmetros e que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Ou seja, devemos resolver o sistema:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a primeira equação para relacionar e :
Agora, temos em termos de . Vamos usar essa expressão na segunda equação.

Passo 6

Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Observamos que aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:
Isso não faz sentido, pois não é igual a . Isso indica que não há solução para e que satisfaça simultaneamente as três equações.

Passo 7

Como não encontramos valores de e que resolvam todas as equações ao mesmo tempo, concluímos que as retas e não se intersectam no espaço. Portanto, elas não são concorrentes.

Resposta

As retas e não são concorrentes, ou seja, elas não se intersectam em nenhum ponto no espaço.

Exercícios relacionados

Determine uma equação da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e .
Verifique se as retas abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção: e .
Estude as posições relativas do planos: e .
Seja . Calcule sen nos casos (a) e (b), e nos casos © e (d):
(d)