Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto P, de um círculo de raio b, que gira dentro de um círculo fixo de raio a, a>b.A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto P. Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
l x(t)=(a-b) cos (t)+b cos (a-bb t) y(t)=(b-a) sen(t)+b sen(a-bb t)
Os cúspides ocorrem quando
l a t=n cdot 2 pi b, n=0,1,2, cdots t=n cdot 2 pi ba, n=0,1,2, cdots
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo b=a4, Daí, obtemos que
l x(t)=acos^3(t) y(t)=asen^3(t)
Assim, uma equação vetorial da astroide é
r(t)=acos^3(t) imath+asen^3(t) jmath, t in[0,2 pi]
Eliminando o parâmetro t, obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
x^2 / 3+y^2 / 3=a^2 / 3
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide x^2 / 3+y^2 / 3=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma hipocicloide, que é uma curva formada quando um ponto em um círculo menor rola dentro de um círculo maior. A equação cartesiana dessa hipocicloide é dada por . Nosso objetivo é achar a equação vetorial dessa hipocicloide específica.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que a equação cartesiana da astroide (que é um caso especial de hipocicloide com quatro cúspides) é . Comparando com a equação que a gente tem , podemos identificar que .

Passo 3

Agora, vamos descobrir o valor de a = 4^3/2 . Para isso, elevamos ambos os lados da equação à potência de :
Sabemos que . Então, .

Passo 4

Com o valor de r(t) = a cos^3(t) imath + a sin^3(t) jmath encontrado, podemos usar a equação vetorial da astroide. A equação vetorial geral da astroide é:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos e , respectivamente, e é o parâmetro que varia de a .

Passo 5

Substituindo o valor de r(t) = 8 cos^3(t) imath + 8 sin^3(t) jmath na equação vetorial, temos:

Resposta

A equação vetorial da hipocicloide r(t) = 8 cos^3(t) , imath + 8 sin^3(t) , jmath, t in [0, 2pi] é:

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