Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto , de um círculo de raio , que gira dentro de um círculo fixo de raio .A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto . Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
Os cúspides ocorrem quando
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo , Daí, obtemos que
Assim, uma equação vetorial da astroide é
Eliminando o parâmetro , obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma hipocicloide, que é uma curva formada quando um ponto em um círculo menor rola dentro de um círculo maior. A equação cartesiana dessa hipocicloide é dada por . Nosso objetivo é achar a equação vetorial dessa hipocicloide específica.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que a equação cartesiana da astroide (que é um caso especial de hipocicloide com quatro cúspides) é . Comparando com a equação que a gente tem , podemos identificar que .

Passo 3

Agora, vamos descobrir o valor de . Para isso, elevamos ambos os lados da equação à potência de :
Sabemos que . Então, .

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos usar a equação vetorial da astroide. A equação vetorial geral da astroide é:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos e , respectivamente, e é o parâmetro que varia de a .

Passo 5

Substituindo o valor de na equação vetorial, temos:

Resposta

A equação vetorial da hipocicloide é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes inequações
(g)
Resolva as seguintes inequações
©
Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas: ;
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo em -3 .