Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto
, de um círculo de raio
, que gira dentro de um círculo fixo de raio
.A razão entre os raios, quando for um número inteiro, nos informa a quantidade de pétalas dessa figura. Chamam-se de cúspides os pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto
. Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem de coordenadas no centro da superfície circular de raio a, a equação paramétrica deste ponto é a seguinte:
Os cúspides ocorrem quando
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (tetracúspides), também conhecida como astroide. Ela é obtida fazendo
, Daí, obtemos que
Assim, uma equação vetorial da astroide é
Eliminando o parâmetro
, obtemos a equação cartesiana da astroide que é dada por
Sabendo dessas informações, encontre uma equação vetorial da hipocicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma hipocicloide, que é uma curva formada quando um ponto em um círculo menor rola dentro de um círculo maior. A equação cartesiana dessa hipocicloide é dada por
. Nosso objetivo é achar a equação vetorial dessa hipocicloide específica.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que a equação cartesiana da astroide (que é um caso especial de hipocicloide com quatro cúspides) é
. Comparando com a equação que a gente tem
, podemos identificar que
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o valor de
. Para isso, elevamos ambos os lados da equação
à potência de
:
Sabemos que
. Então,
.
Passo 4
Com o valor de
encontrado, podemos usar a equação vetorial da astroide. A equação vetorial geral da astroide é:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos
e
, respectivamente, e
é o parâmetro que varia de
a
.
Passo 5
Substituindo o valor de
na equação vetorial, temos:
Resposta
A equação vetorial da hipocicloide
é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações
(g)
(g)
Resolva as seguintes inequações
©
©
Obtenha a equação cartesiana das seguintes curvas:
;
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(e) Intercepta o eixo em 1 e intercepta o eixo
em -3 .
(e) Intercepta o eixo