Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) : f(x) = x^2 + tan(x) e p = pi / 4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função no ponto , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, montar a equação da reta.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de . Substituindo na função:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de em relação a é:
Explicando: a derivada de é e a derivada de é .

Passo 4

Vamos calcular substituindo na derivada:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora temos o ponto e a inclinação da reta tangente . A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:
Simplificando os termos constantes:
Para deixar de forma mais compacta:
Essa é a equação da reta tangente no ponto dado.

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