Determine se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um contraexemplo ou corrija. Se f(2) = g(2) então f'(2) = g'(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a afirmação "Se , então " é verdadeira ou falsa. A gente vai usar conceitos de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa afirmação está dizendo. Ela sugere que se dois funções têm o mesmo valor no ponto , então as suas derivadas nesse ponto também são iguais. Mas será que isso realmente é verdade?

Passo 3

Para descobrir, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, como a função está “subindo” ou “descendo”. Ter o mesmo valor da função em não garante que elas têm a mesma inclinação nesse ponto.

Passo 4

Vamos pensar em um contraexemplo. Imagine duas funções simples:
No ponto :
Então, . Agora, vamos olhar as derivadas:
  • , então
  • depende de . Para , ; para , . No , a derivada de não existe porque os limites pela direita e pela esquerda não são iguais.

Passo 5

Nesse exemplo, mesmo tendo , as derivadas não são iguais em . Aliás, a derivada de nem existe naquele ponto. Isso mostra que a afirmação original é falsa.

Resposta

FALSO. Por exemplo, se e , temos que , mas as derivadas e não são iguais ou nem existem, mostrando que a afirmação não é verdadeira.

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