Determine se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um contraexemplo ou corrija. Se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a afirmação "Se
, então
" é verdadeira ou falsa. A gente vai usar conceitos de derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa afirmação está dizendo. Ela sugere que se dois funções têm o mesmo valor no ponto
, então as suas derivadas nesse ponto também são iguais. Mas será que isso realmente é verdade?
Passo 3
Para descobrir, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, como a função está “subindo” ou “descendo”. Ter o mesmo valor da função em
não garante que elas têm a mesma inclinação nesse ponto.
Passo 4
Vamos pensar em um contraexemplo. Imagine duas funções simples:
No ponto
:
Então,
. Agora, vamos olhar as derivadas:
-
, então -
depende de . Para , ; para , . No , a derivada de não existe porque os limites pela direita e pela esquerda não são iguais.
Passo 5
Nesse exemplo, mesmo tendo
, as derivadas não são iguais em
. Aliás, a derivada de
nem existe naquele ponto. Isso mostra que a afirmação original é falsa.
Resposta
FALSO. Por exemplo, se
e
, temos que
, mas as derivadas
e
não são iguais ou nem existem, mostrando que a afirmação não é verdadeira.