Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) : f(x) = 3 x^5 e p = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente no ponto onde e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Então, vamos precisar calcular e a derivada de em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Basta substituir por 4 na função :
Calculando :
Então,
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para saber a inclinação da reta tangente. A derivada, , nos dá a taxa de variação de em relação a .
Para derivar , usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Calculando :
Então,
A inclinação da reta tangente é 3840.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma :
Adicionando 3072 em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente em é:

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