Determine a equação da reta tangente em
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente no ponto
onde
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Então, vamos precisar calcular
e a derivada de
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Basta substituir
por 4 na função
:
Calculando
:
Então,
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para saber a inclinação da reta tangente. A derivada,
, nos dá a taxa de variação de
em relação a
.
Para derivar
, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Calculando
:
Então,
A inclinação da reta tangente é 3840.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma
:
Adicionando 3072 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente em
é: