Determine a equação da reta tangente em
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve entender como funciona a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Reescrevendo a função para facilitar a derivação:
Aplicando a regra do poder para derivadas:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
Somando
dos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente no ponto
é: