Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva representada pela equação
. Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função implícita e usar a equação da reta tangente.
Passo 2
Para encontrar a reta tangente à curva, primeiro precisamos calcular a derivada da função que representa a curva. A equação do círculo pode ser rearranjada para resolver
em termos de
. Podemos escrever a equação assim:
Agora, vamos aplicar a derivada implícita. A derivada implícita é uma técnica que nos permite encontrar a derivada de
em relação a
sem precisar resolver completamente a equação para
.
Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Simplificando um pouco, dividimos ambos os lados por
:
Agora isolamos
:
Passo 3
Agora que temos
, precisamos avaliar essa derivada no ponto
. Substituindo
e
na nossa derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 4. Agora que temos a inclinação, podemos usar a fórmula da equação da reta, que é dada por:
onde
é o ponto onde queremos encontrar a tangente (neste caso,
) e
é a inclinação que encontramos. Portanto, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicando tudo:
Agora, somamos 2 nos dois lados para isolar
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
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cujo perímetro seja o menor possível.
Derive:
.
Trate dos seguintes limites:
Calcule a integral iterada