Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em .

Passo 1

Vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva representada pela equação . Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função implícita e usar a equação da reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente à curva, primeiro precisamos calcular a derivada da função que representa a curva. A equação do círculo pode ser rearranjada para resolver em termos de . Podemos escrever a equação assim:
.
Agora, vamos aplicar a derivada implícita. A derivada implícita é uma técnica que nos permite encontrar a derivada de em relação a sem precisar resolver completamente a equação para .
Derivando ambos os lados em relação a , temos:
.
Simplificando um pouco, dividimos ambos os lados por :
.
Agora isolamos :
.

Passo 3

Agora que temos , precisamos avaliar essa derivada no ponto . Substituindo e na nossa derivada:
.
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 4. Agora que temos a inclinação, podemos usar a fórmula da equação da reta, que é dada por:
,
onde é o ponto onde queremos encontrar a tangente (neste caso, ) e é a inclinação que encontramos. Portanto, substituindo:
.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicando tudo:
.
Agora, somamos 2 nos dois lados para isolar :
.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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.
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