Encontre as dimensões de um retângulo com área de
cujo perímetro seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as dimensões de um retângulo que tem uma área de
e que tenha o menor perímetro possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente área e perímetro de retângulos, além de otimização para encontrar a melhor solução. Vamos precisar usar as fórmulas da área e do perímetro e entender um pouquinho sobre como minimizar uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
. A área do retângulo é dada por:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos expressar o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro é:
Queremos minimizar esse perímetro. Como já sabemos que
, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Substituindo isso na fórmula do perímetro, teremos:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que minimiza o perímetro, observamos que quando o retângulo tem lados iguais, ou seja, quando ele é um quadrado, o perímetro tende a ser menor. Isso acontece porque o quadrado distribui melhor a área em torno de seu perímetro.
Então, vamos igualar
e
:
Substituindo na equação da área:
Resolvendo para
:
Como
, a largura também é aproximadamente
.
Resposta
As dimensões do retângulo com área de
e perímetro mínimo são aproximadamente
de comprimento e
de largura.
Exercícios relacionados
Derive:
.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Trate dos seguintes limites: