Trate dos seguintes limites:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites e precisamos usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão e resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para verificar o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada
, o que significa que não podemos simplesmente substituir o valor e precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma indeterminação
, uma técnica útil é racionalizar uma das partes da fração. Neste caso, vamos racionalizar o denominador, que é
.
Passo 4
Para racionalizar o denominador
, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os termos:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Observamos que o denominador
pode ser reescrito como
. Além disso, percebemos que
, mas para simplificar ainda mais, vamos fatorar o numerador:
Agora, nossa expressão fica:
Podemos simplificar mais notando que
, então:
Com essa simplificação, conseguimos eliminar a indeterminação e agora podemos calcular o limite substituindo
:
Ainda estamos com uma indeterminação, então precisamos simplificar mais. Observando a expressão inicial, podemos perceber que simplificações adicionais são necessárias, ou utilizar outra técnica como a derivada de L’Hôpital.
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Então, o limite se torna:
Resposta
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Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Encontre as dimensões de um retângulo com área de
cujo perímetro seja o menor possível.
Calcule a integral iterada
Derive:
.