Trate dos seguintes limites:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites e precisamos usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão e resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para verificar o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que não podemos simplesmente substituir o valor e precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação , uma técnica útil é racionalizar uma das partes da fração. Neste caso, vamos racionalizar o denominador, que é .

Passo 4

Para racionalizar o denominador , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Observamos que o denominador pode ser reescrito como . Além disso, percebemos que , mas para simplificar ainda mais, vamos fatorar o numerador:
Agora, nossa expressão fica:
Podemos simplificar mais notando que , então:
Com essa simplificação, conseguimos eliminar a indeterminação e agora podemos calcular o limite substituindo :
Ainda estamos com uma indeterminação, então precisamos simplificar mais. Observando a expressão inicial, podemos perceber que simplificações adicionais são necessárias, ou utilizar outra técnica como a derivada de L’Hôpital.
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Então, o limite se torna:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em .
Encontre as dimensões de um retângulo com área de cujo perímetro seja o menor possível.
Calcule a integral iterada
Derive:
.